Question

觀察下列等式：

12×231=132×21，

13×341=143×31，

23×352=253×32，

34×473=374×43，

62×286=682×26，

…

以上每個等式中兩邊數(shù)字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類等式為“數(shù)字對稱等式”．

（1）根據上述各式反映的規(guī)律填空，使式子稱為“數(shù)字對稱等式”：

①52×　   　=　    　×25；

②　　×396=693×　　．

（2）設這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，且2≤a+b≤9，寫出表示“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子（含a、b），并證明．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①275；572。

②63；36。

（2）“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子為：

（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。證明如下：

∵左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，

∴左邊的兩位數(shù)是10a+b，三位數(shù)是100b+10（a+b）+a，

右邊的兩位數(shù)是10b+a，三位數(shù)是100a+10（a+b）+b，

∴左邊=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）

=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），

右邊=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）

=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），

∴左邊=右邊。

∴“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子為：

（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。

【解析】分類歸納（數(shù)字的變化類），代數(shù)式的計算和證明。

【分析】（1）觀察規(guī)律，左邊，兩位數(shù)所乘的數(shù)是這個兩位數(shù)的個位數(shù)字變?yōu)榘傥粩?shù)字，十位數(shù)字變?yōu)閭�位數(shù)字，兩個數(shù)字的和放在十位；右邊，三位數(shù)與左邊的三位數(shù)字百位與個位數(shù)字交換，兩位數(shù)與左邊的兩位數(shù)十位與個位數(shù)字交換然后相乘，根據此規(guī)律進行填空即可：

①∵5+2=7，∴左邊的三位數(shù)是275，右邊的三位數(shù)是572�！�52×275=572×25。

②∵左邊的三位數(shù)是396，∴左邊的兩位數(shù)是63，右邊的兩位數(shù)是36。∴63×369=693×36。

（2）按照（1）中對稱等式的方法寫出，然后利用多項式的乘法進行證明即可。