Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖1，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．以AP為邊作等邊△APQ（點(diǎn)Q在x軸上方），設(shè)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APQ與四邊形AOCD重疊部分的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖2，連接AC，在第二象限內(nèi)存在點(diǎn)M，使得以M、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

       解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x²﹣x+；

則D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，）．

（2）∵點(diǎn)D與A橫坐標(biāo)相差1，縱坐標(biāo)之差為，則tan∠DAP=，

∴∠DAP=60°，

又∵△APQ為等邊三角形，

∴點(diǎn)Q始終在直線AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)可知：AP=AD==2．

①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，P在線段AO上，此時(shí)△APQ的面積即是△APQ與四邊形AOCD的重疊面積．

AP=t，

∵∠QAP=60°，

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t•sin60°=t，

∴S=×t×t=t²．

②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖：

此時(shí)點(diǎn)Q在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在OA上，

設(shè)QP與DC交于點(diǎn)H，

∵DC∥AP，

∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，

∴△QDH是等邊三角形，

∴S=S_△QAP﹣S_△QDH，

∵QA=t，

∴S_△QAP=t²．

∵QD=t﹣2，

∴S_△QDH=（t﹣2）²，

∴S=t²﹣（t﹣2）²=t﹣．

③當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖：

此時(shí)點(diǎn)Q在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在線段OB上，

設(shè)QP與DC交于點(diǎn)E，與OC交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)Q作AP的垂涎，垂足為G，

∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，

∴OF=OP•tan60°=（t﹣3），

∴S△FOP=×（t﹣3）（t﹣3）=（t﹣3）²，

∵S=S_△QAP﹣S_△QDE﹣S_△FOP，S_△QAP﹣S_△QDE=t﹣．

∴S=t﹣﹣（t﹣3）²=t²+4t﹣．

綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=．

（3）∵OC=，OA=3，OA⊥OC，則△OAC是含30°的直角三角形．

①當(dāng)△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時(shí)；如圖：

過(guò)點(diǎn)M₂作AO的垂線，垂足為N，

∵∠M₂AO=30°，AO=3，

∴M₂O=，

又∵∠OM₂N=M₂AO=30°，

∴ON=OM₂=，M₂N=ON=，

∴M₂的坐標(biāo)為（﹣，）．

同理可得M₁的坐標(biāo)為（﹣，）．

②當(dāng)△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時(shí)；如圖：

∵以M、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，

∴=，或=，

∵OA=3，

∴AM=或AM=3，

∵AM⊥OA，且點(diǎn)M在第二象限，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，）或（﹣3，3）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的所有可能的坐標(biāo)為（﹣3，），（﹣3，3），（﹣，），（﹣，）．