【題目】如圖,已知直線l與⊙O無公共點(diǎn),OAl于點(diǎn)A,交⊙O于點(diǎn)P,點(diǎn)B是⊙O上一點(diǎn),連接BP并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)C,使得AB=AC

1)求證:AB是⊙O的切線;

2)若BP=2,sinACB,求AB的長(zhǎng).

【答案】1)證明見解析;(2AB

【解析】

(1)連結(jié)OB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)頂角相等證明∠OBA=90°,根據(jù)切線的判定定理證明即可;
(2)作直徑BD,連接PD,則∠BPD=90°,根據(jù)圓周角定理得出△PBD是直角三角形,進(jìn)而求得,即為直角三角形求得直徑BD,根據(jù),得到,然后設(shè),則,在中,根據(jù)勾股定理得到,解得x的值,即可求得AB的長(zhǎng).

(1)連結(jié)OB,如圖1

AB=AC,

∴∠ABC=ACB

OAl,

∴∠ACB+APC=90°.

OB=OP,

∴∠OBP=OPB

∵∠OPB=APC

∴∠OBP+ACB=90°,

∴∠OBP+ABC=90°,即∠OBA=90°,

OBAB

AB是⊙O的切線;

(2)作直徑BD,連接PD,則∠BPD=90°,如圖2

AB是⊙O的切線,

∴∠ABC=D

∵∠ABC=ACB,

∴∠D=ABC=ACB

sinACB,

sinD

BP=2,

BD=10,

OB=OP=5

sinACB

,

設(shè)PA=,則PC=,

,

,

設(shè)PA=x,則AB=AC=2x

RtAOB中,AB=2x,OB=5,OA=5+x

(2x)2+52=(5+x)2,

解得:x

AB=2x

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的位置如圖所示.


1)分別寫出△ABC各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo);
2)分別寫出頂點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo)、頂點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B′的坐標(biāo)及頂點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)C′的坐標(biāo);
3)求線段BC的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在中,,,點(diǎn)上,,若⊙的圓心在線段上,且⊙都相切,則⊙的半徑是___________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為加快城鄉(xiāng)對(duì)接,建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村,某地區(qū)對(duì)A、B兩地間的公路進(jìn)行改建.如圖,A、B兩地之間有一座山,汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛,現(xiàn)開通隧道后,汽車可直接沿直線AB行駛.已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.

(1)開通隧道前,汽車從A地到B地大約要走多少千米?

(2)開通隧道后,汽車從A地到B地大約可以少走多少千米?(結(jié)果精確到0.1千米)(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面是小雪設(shè)計(jì)的“作以已知線段為斜邊的等腰直角三角形”的尺規(guī)作圖過程.

已知:線段AB

求作:以AB為斜邊的一個(gè)等腰直角△ABC

作法:

1)分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于PQ兩點(diǎn);

2)作直線PQ,交AB于點(diǎn)O

3)以O為圓心,OA的長(zhǎng)為半徑作圓,交直線PQ于點(diǎn)C;

4)連接AC,BC

則△ABC即為所求作的三角形.根據(jù)小雪設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程:

1)使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);

2)完成下面的證明:

證明:∵PA=PB,QA=QB,∴PQ垂直平分AB

在⊙O中,

AB為直徑,∴∠ACB=90°(

又∵∠AOC=BOC=90°,∴AC=BC ),∴△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】端午節(jié)前夕舉行了南通濠河國(guó)際龍舟邀請(qǐng)賽,在500米直道競(jìng)速賽道上,甲、乙兩隊(duì)所劃行的路程y(單位:米)與時(shí)間t(單位:分)之間的函數(shù)關(guān)系式如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,有下列說法:①甲隊(duì)比乙隊(duì)提前0.5分到達(dá)終點(diǎn)②當(dāng)劃行1分鐘時(shí),甲隊(duì)比乙隊(duì)落后50米③當(dāng)劃行分鐘時(shí),甲隊(duì)追上乙隊(duì)④當(dāng)甲隊(duì)追上乙隊(duì)時(shí),兩隊(duì)劃行的路程都是300米其中錯(cuò)誤的是( 。

A. B. C. D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,△ABC,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=6cm,DBC的中點(diǎn).點(diǎn)EA出發(fā),acm/s(a>0)的速度沿AC勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng);點(diǎn)F同時(shí)以1cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā),沿CB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)EAC的垂線,AD于點(diǎn)G,連接EF,F(xiàn)G,設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(t≥t0).

(1)t=2,△CEF∽△ABC,求a的值;

(2)當(dāng)a=時(shí),以點(diǎn)E、F、D、G為頂點(diǎn)點(diǎn)四邊形時(shí)平行四邊形,求t的值;

(3)a=2,是否存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)△DFG是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(10),A2y軸的正半軸上,且∠A1A2O30°,過點(diǎn)A2A2A3A1A2垂足為A2,交x軸于點(diǎn)A3過點(diǎn)A3A3A4A2A3,垂足為A3,交y軸于點(diǎn)A4,過點(diǎn)A4A4A5A3A4,垂足為A4x軸于點(diǎn)A5:過點(diǎn)A5A5A6A4A5,A5A6A4A5垂足為A5,交y軸于點(diǎn)A6按此規(guī)律進(jìn)行下去,則點(diǎn)A2019的橫坐標(biāo)為_____

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,一段拋物線y=﹣x2+4(﹣2≤x≤2)為C1,與x軸交于A0A1兩點(diǎn),頂點(diǎn)為D1;將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2,頂點(diǎn)為D2C1C2組成一個(gè)新的圖象,垂直于y軸的直線l與新圖象交于點(diǎn)P1x1y1),P2x2y2),與線段D1D2交于點(diǎn)P3x3,y3),設(shè)x1,x2,x3均為正數(shù),tx1+x2+x3,則t的取值范圍是_____

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