Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸相交于點C，連結BC，點P為拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線l，交直線BC于點G，交x軸于點E．

（1）求拋物線的表達式；
（2）當P位于y軸右邊的拋物線上運動時，過點C作CF⊥直線l，F為垂足，當點P運動到何處時，以P，C，F為頂點的三角形與△OBC相似？并求出此時點P的坐標；
（3）如圖2，當點P在位于直線BC上方的拋物線上運動時，連結PC，PB，請問△PBC的面積S能否取得最大值？若能，請求出最大面積S，并求出此時點P的坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A（﹣1，0），B（4，0）的坐標代入函數的表達式得： ，

解得：b=3，c=4．

拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4．

（2）

解：如圖1所示：

∵令x=0得y=4，

∴OC=4．

∴OC=OB．

∵∠CFP=∠COB=90°，

∴FC=PF時，以P，C，F為頂點的三角形與△OBC相似．

設點P的坐標為（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）．

則CF=a，PF=|﹣a2+3a+4﹣4|=|a2﹣3a|．

∴|a2﹣3a|=a．

解得：a=2，a=4．

∴點P的坐標為（2，6）或（4，0）．

（3）

解：如圖2所示：連接EC．

設點P的坐標為（a，﹣a2+3a+4）．則OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．

∵S四邊形PCEB= OBPE= ×4（﹣a2+3a+4），S△CEB= EBOC= ×4×（4﹣a），

∴S△PBC=S四邊形PCEB﹣S△CEB=2（﹣a2+3a+4）﹣2（4﹣a）=﹣2a2+8a．

∵a=﹣2＜0，

∴當a=2時，△PBC的面積S有最大值．

∴P（2，6），△PBC的面積的最大值為8．

【解析】（1）將點A（﹣1，0），B（4，0）的坐標代入拋物線的解析式，求得b、c的值即可；（2）先由函數解析式求得點C的坐標，從而得到△OBC為等腰直角三角形，故此當CF=PF時，以P，C，F為頂點的三角形與△OBC相似．
設點P的坐標為（a，﹣a2+3a+4）．則CF=a，PF=﹣a2+3a，接下來列出關于a的方程，從而可求得a的值，于是可求得點P的坐標；（3）連接EC．設點P的坐標為（a，﹣a2+3a+4）．則OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．然后依據S△PBC=S四邊形PCEB﹣S△CEB列出△PBC的面積與a的函數關系式，從而可求得三角形的最大面積．