Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣8，0），對(duì)稱軸是直線x＝﹣3，點(diǎn)B是拋物線與y軸交點(diǎn)，點(diǎn)M、N同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿x軸的負(fù)半軸、y的負(fù)半軸方向勻速運(yùn)動(dòng)，（當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）．過點(diǎn)M作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)C，連接CN、MN，并作△CMN關(guān)于直線MC的對(duì)稱圖形，得到△CMD．設(shè)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，△CMD與△AOB重疊部分的面積為S．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，

①求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

②直接寫出當(dāng)t＝_____時(shí)，四邊形CDMN為正方形.

（3）當(dāng)點(diǎn)D落在邊AB上時(shí)，過點(diǎn)C作直線EF交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，連接EB，當(dāng)S△CBE：S△ACF＝1：3時(shí)，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)為______．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣4；（2）①S＝﹣t2+2t；②；（3）（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6）．

【解析】

（1）拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣8，0），對(duì)稱軸是直線x＝﹣3，則拋物線與x軸另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+8）（x﹣2）＝a（x2+6x﹣16），根據(jù)x=0時(shí)y=-4可得﹣16a＝﹣4，解得：a＝，即可求解；（2）①根據(jù)OM＝ON＝t可得AM＝8﹣t，由MC∥y軸，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，可得MC＝（8﹣t），進(jìn)而可得S＝S△MCN＝MC×t＝﹣t2+2t；②根據(jù)MC＝ND＝2t，即可求解；（3）過點(diǎn)E、F分別作AB的垂線交AB于點(diǎn)G、H，利用待定系數(shù)法可得直線AB的解析式，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可得DM＝MN＝t，可證明△DMN是等腰直角三角形，可得DN=MN，即可求出t值，可得點(diǎn)C（﹣2，﹣3），即可得出AC=3BC，根據(jù)S△CBE：S△ACF＝1：3，可得EG＝FH，利用AAS可證明△FHC≌△EGC，可得FC=EC，故點(diǎn)C是EF的中點(diǎn)，設(shè)F（m，0），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用m表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可求出m的值，可得E點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣8，0），對(duì)稱軸是直線x＝﹣3，

∴拋物線與x軸另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+8）（x﹣2）＝a（x2+6x﹣16），

∵點(diǎn)B是拋物線與y軸交點(diǎn)，

∴B（0，4），

∴﹣16a＝﹣4，

解得：a＝，

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x﹣4.

（2）如圖1，①∵OM＝ON＝t，

∴AM＝8﹣t，

∵MC∥y軸，

∴，即，

解得：MC＝（8﹣t），

∵△CMN與△CMD關(guān)于直線MC對(duì)稱，

∴S△CMD=S△CMN，

∵0＜t＜2，

∴S＝S△MCN＝MC×t＝﹣t2+2t.

②四邊形CDMN為正方形時(shí)，MN=，

∴MC＝ND＝=2t，

∴MC＝（8﹣t）＝2t，

解得：t＝，

故答案為：

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

∵A（-8，0），B（0，-4），

∴，

解得：，

∴直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣4，

如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M（﹣t，0），

∴N（0，-t），

當(dāng)y=-t時(shí)，﹣x﹣4=-t，

解得：x=2t-8，

∴點(diǎn)D（2t﹣8，﹣t），

∴DN=8-2t，

∵OM=ON=t，

∴MN＝t，∠OMN=∠ONM=45°，

∵MC⊥x軸，

∴∠CMN=45°，

∵△CMN與△CMD關(guān)于直線MC對(duì)稱，

∴∠DMC=∠CMN=45°，

∴∠DMN=90°，

∴△DMN是等腰直角三角形，

∴DN=MN，即8-2t=×t，

解得：t=2，

∵點(diǎn)C在直線AB上，MC⊥x軸，

∴當(dāng)x=-2時(shí)，y=-×(-2)-4=-3，

∴點(diǎn)C（﹣2，﹣3），

∴AC＝=3，BC==，

∴AC＝3BC，

如圖3,過點(diǎn)E、F分別作AB的垂線交AB于點(diǎn)G、H，

∵S△CBE：S△ACF＝1：3，

∴AC·FH=3×BC·EG，即×3BC·FH=3×BC·EG，

∴EG＝FH，

∵FH⊥AB，EG⊥AB，

∴∠FHC=∠EGC=90°，

在△FHC和△EGC中，，

∴△FHC≌△EGC，

∴FC=EC，

∴點(diǎn)C是EF的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)F（m，0），E(x，y)，

∵點(diǎn)C（﹣2，﹣3），

∴，，

解得：x=-4-m，y=-6，

∴點(diǎn)E（﹣4﹣m，﹣6），

把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：-6=（-4-m）2+(-4-m)-4，

解得：m＝0或﹣2，

當(dāng)m=0時(shí)，-4-m=-4，點(diǎn)E坐標(biāo)為（-4，-6），

當(dāng)m=-2時(shí)，-4-m=-2，點(diǎn)E坐標(biāo)為（-2，6），

綜上所述：點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6），

故答案為：（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6）．