Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為A（1，﹣1）的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（5，3），且與x軸交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點(diǎn)O到直線AB的距離；

（3）點(diǎn)M在第二象限內(nèi)的拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，且∠MND=∠OAB，當(dāng)△DMN與△OAB相似時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）²﹣1，

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

（5﹣1）²a﹣1=3，

解得a=．

故拋物線的解析式為y=（x﹣1）²﹣1；

（2）由勾股定理，得OA²=1¹+1²=2，OB²=5²+3²=34，AB²=（5﹣1）²+（3+1）²=32，

OA²+AB²=OB²，

∴∠OAB=90°，

O到直線AB的距離是OA=；

（3）設(shè)M（a，b），N（a，0）

當(dāng)y=0時(shí)，（x﹣1）²﹣1=0，

解得x₁=3，x₂=﹣1，

D（3，0），DN=3﹣a．

①當(dāng)△MND∽△OAB時(shí)，=，即=，

化簡(jiǎn)，得4b=a﹣3  ①

M在拋物線上，得b=（a﹣1）²﹣1   ②

聯(lián)立①②，得，

解得a₁=3（不符合題意，舍），a₂=﹣2，b=，

M₁（﹣2，），

當(dāng)△MND∽△BAO時(shí)，=，即=，

化簡(jiǎn)，得b=12﹣4a   ③，

聯(lián)立②③，得，

解得a₁=3（不符合題意，舍），a₂=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，

M₂（﹣17，80）．

綜上所述：當(dāng)△DMN與△OAB相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)（﹣2，），（﹣17，80）．