Question

已知，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P（m，n）是拋物線

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）如圖1，過動(dòng)點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，連接PA，請(qǐng)通過測(cè)量或計(jì)算，比較PA與PB的大小關(guān)系：PA      PB（直接填寫“>”“<”或“=”，不需解題過程）；

（2）請(qǐng)利用（1）的結(jié)論解決下列問題：

①如圖2，設(shè)C的坐標(biāo)為（2，5），連接PC， AP+PC是否存在最小值？如果存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，簡(jiǎn)單說明理由；

②如圖3，過動(dòng)點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線交拋物線于另一點(diǎn)D，若AP=2AD，求直線OP的解析式.

 

           （第24題圖1）              （第24題圖2）                 （第24題圖3）

Answer 1

解：（1）PA  ＝  PB…………………………………………………………2分

    （2）①過點(diǎn)P作PB⊥x軸于B，由（1）得PA=PB，

        所以要使AP+CP最小，只需當(dāng)BP+CP最小，因此當(dāng)C，P，B共線時(shí)取得，

        此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)C（2，5）的橫坐標(biāo)，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）……………………………………………4分

        ②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖，作DE⊥x軸于E，作PF⊥x軸于F，

        由（1）得：DA=DE，PA=PF

        ∵PA=2DA，∴PF=2DE，

        ∵△ODE∽△OPF，∴

        設(shè)P（m，），則D（，）

        ∵點(diǎn)D在拋物線上，

（負(fù)舍去）

∴，解得

此時(shí)P（，3），直線OP的解析式為………………6分

當(dāng)P在第二象限時(shí)，

同理可求得直線OP的解析式為………………………2分

綜上，所求直線OP的解析式為或.