Question

已知，拋物線y=ax²-2ax與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），且拋物線與直線y=-2ax-1的交點(diǎn)恰為拋物線的頂點(diǎn)C．
（1）求a的值；
（2）如果直線y=-x+b（

2

≤b≤

3

）與x軸交于點(diǎn)D，與線段BC交于點(diǎn)E，求△CDE面積的最大值；
（3）在（2）的結(jié)論下，在x軸下方，是否存在點(diǎn)F，使△BDF與△BCD相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵y=ax²-2ax=ax（x-2），
又∵拋物線y=ax²-2ax與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），
∴A（2，0），B（0，0），頂點(diǎn)C（1，-a），
∵拋物線與直線y=-2ax-1的交點(diǎn)恰為拋物線的頂點(diǎn)C，
∴-2a-1=-a，
解得：a=-1．

（2）如圖1，由（1）得直線BC的解析式為y=x，
∵直線y=-x+b（

2

≤b≤

3

）與x軸交于點(diǎn)D，與線段BC交于點(diǎn)E，
∴D（b，0），E（

b

2

，

b

2

），
∴S_△CDE=S_△CBD-S_△BDE=

1

2

×b×1-

1

2

×b×

b

2

=-

1

4

（b-1）²+

1

4

，
∵當(dāng)b＞1時(shí)，s隨著b的增大而減小，
∵

2

≤b≤

3

，
∴當(dāng)b=

2

時(shí)，△CDE面積最大，
最大值為：-

1

4

（

2

-1）²+

1

4

=

2 -1

2

．

（3）如圖2，△BCD中，BC=BD=

2

，∠CBD=45°，
在x軸下方存在點(diǎn)F，使△BDF與△BCD全等，即△BDF與△BCD相似，
∴F₂（1，-1），
過(guò)點(diǎn)F₁作F1M⊥OD于M，
∵DF₁=OD=OC=

2

，∠ODF₁=∠CBD=45°，
∴F₁M=DM=1，
∴F₁（

2

-1，-1），
過(guò)F₃N⊥BD于N，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD于G，
∴△CGD∽△F₃ON，
∴CG：F₃N=GD：BG，
∵GD=

2

-1，CG=1，BG=

2

2

，
∴

2 -1

2 2

=

1

F3G

，
∴F₃G=1+

2

2

，
∴F₃（

2

2

，-1-

2

2

）．
∴存在點(diǎn)F₁（

2

-1，-1），F(xiàn)₂（1，-1），F(xiàn)₃（

2

2

，-1-

2

2

），使△BDF與△BCD相似．