Question

如圖①，矩形紙片ABCD中，AD=14cm，AB=10cm．
（1）將矩形紙片ABCD沿折線AE對折，使AB邊與AD邊重合，B點落在F點處，如圖②所示，再剪去四邊形CEFD，余下部分如圖③所示，若將余下的紙片展開，則所得的四邊形ABEF的形狀是______，它的面積為______cm²；
（2）將圖③中的紙片沿折線AG對折，使AF與AE邊重合，F(xiàn)點落在H點處．如圖④所示，再沿HG將△HGE剪下，余下的部分如圖⑤所示，把圖⑤的紙片完全展開，請你在圖⑥的矩形ABCD中畫出展開后圖形的示意圖，剪去的部分用陰影表示，折痕用虛線表示；
（3）求圖④中剪去的△HGE的展開圖的面積（結(jié)果用含有根式的式子表示）．

Answer 1

解：（1）正方形，100；
（2）如右圖．
（3）正方形的對角線AE=10，
∵AH=AF=10，AH=AF=10-HE，
∴HE=10-10，
∴展開圖的面積=GH×HE÷2×2=100（3-2）cm²．
分析：（1）∵∠A=∠B=∠AFE=90°，∴四邊形ABEF是矩形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF是正方形，面積等于AB²=100；
（2）動手操作后可很快得到答案；
（3）易得AE=10，那么AH=AF=10，AH=AF=10-HE，那么HE=10-10；∴展開圖的面積=GH×HE÷2×2=100（3-2）cm²．
點評：本題是一道精彩的綜合題型，它主要考查學(xué)生的動手操作、空間想象和幾何計算能力，其題材來源于日常生活生活，設(shè)計由簡到繁，不同層次的學(xué)生都能在本題上有所收獲．折紙操作題目是近年出現(xiàn)的考查動手操作和展示數(shù)學(xué)活動過程的題型，本題在繼承的基礎(chǔ)上又有所創(chuàng)新，強調(diào)讓學(xué)生將每一次折、剪后的結(jié)果用不同的形式表現(xiàn)出來，考查了學(xué)生的空間想象能力．第2小題的解法有多種，不同思維習(xí)慣，不同程度的學(xué)生的解法有難易之分，但都考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動過程，對于空間觀念較強的學(xué)生，他可以借助“頭腦操作”，將圖形逐步還原，再畫出展開后的圖形；而對于習(xí)慣動手實踐的學(xué)生，他也可以在考場中親手經(jīng)歷折疊、剪切、展開的過程，直接將操作結(jié)果畫出．這樣的設(shè)計尊重了學(xué)生的認知差異，讓不同層次學(xué)生在數(shù)學(xué)上都能得到適當(dāng)?shù)陌l(fā)展．第3小題的計算同樣也有多種思路，分別考查了學(xué)生利用勾股定理，三角函數(shù)、三角形全等、軸對稱等多方面知識，還考查了整體與部分關(guān)系的數(shù)學(xué)思想．