Question

【題目】如圖，在矩形中，，點是的中點，點在上，，點在線段上．若是以為頂角的等腰三角形且底角與相等，則____．

Answer 1

【答案】6或者

【解析】

分兩種情況：①MN為等腰△PMN的底邊時，作PF⊥MN于F，則∠PFM=∠PFN=90°，由矩形的性質(zhì)得出AB=CD，BC=，∠A=∠C=90°，得出AB=CD=，BD=，證明△PDF∽△BDA，得出，求出PF=，證出CE=2CD，由等腰三角形的性質(zhì)得出MF=NF，∠PNF=∠DEC，證出△PNF∽△DEC，得出,求出NF=2PF=3，即可得出答案；

②MN為等腰△PMN的腰時，作PF⊥BD于F，由①得：PF=，MF=3，設(shè)MN=PN=x，則FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

分兩種情況：

①MN為等腰△PMN的底邊時，作PF⊥MN于F，如圖1所示：

則∠PFM=∠PFN=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，BC=，∠A=∠C=90°，

∴AB=CD=，BD=

∵點P是AD的中點，

∴PD=

∵∠PDF=∠BDA，

∴△PDF∽△BDA，

∴ ，即 ，

解得：PF=，

∵CE=2BE，

∴BC=AD=3BE，

∴BE=CD，

∴CE=2CD，

∵△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，PF⊥MN，

∴MF=NF，∠PNF=∠DEC，

∵∠PFN=∠C=90°，

∴△PNF∽△DEC，

∴

∴MF=NF=2PF=3，

∴MN=2NF=6；

②MN為等腰△PMN的腰時，作PF⊥BD于F，如圖2所示：

由①得：PF=，MF=3，

設(shè)MN=PN=x，則FN=3-x，

在Rt△PNF中，

解得：x=

，即MN=；

綜上所述，MN的長為6或；

故答案為：6或．