Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的拋物線y＝ax2+bx與直線y＝﹣x+4交于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．

（1）該拋物線的解析式為；

（2）如圖1，Q為拋物線上位于直線AB上方的一動(dòng)點(diǎn)（不與B、A重合），過(guò)Q作QP⊥x軸，交x軸于P，連接AQ，M為AQ中點(diǎn)，連接PM，過(guò)M作MN⊥PM交直線AB于N，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，求n與t的函數(shù)關(guān)系式；在此條件下，如圖2，連接QN并延長(zhǎng)，交y軸于E，連接AE，求t為何值時(shí)，MN∥AE．

（3）如圖3，將直線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15度交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)C，點(diǎn)T為線段OA上的一動(dòng)點(diǎn)（不與O、A重合），以點(diǎn)O為圓心、以OT為半徑的圓弧與線段OC交于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心、以AT為半徑的圓弧與線段AC交于點(diǎn)F，連接DF．在點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ODFA的面積有最大值還是有最小值？請(qǐng)求出該值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）n＝，（0＜t＜3）； t＝2時(shí)，MN∥AE；（3）在點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ODFA的面積有最小值為3

【解析】

（1）先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸于G，NH⊥GM于H．先證明N、P、A三點(diǎn)在以M為圓心MA為半徑的⊙M上，然后得到△NMH≌△MPG，得到NH＝MG，HM＝PG，再設(shè)P為（t，0），然后構(gòu)建關(guān)于t的方程，解方程即可得到t的值；

（3）設(shè)OT=m，四邊形ODFA的面積為S，CD＝AF＝AT＝4﹣m，CF＝OT＝m，過(guò)D作DR⊥AC，垂足為R，則DR＝DCsin60°＝（4﹣m），再由S＝S△OAC﹣S△CDF即可得出結(jié)論．

解：（1）∵直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)A，

令y=0，則x=4，

∴點(diǎn)A為（4，0），

∵直線y＝﹣x+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，

∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為：y＝﹣1+4=3，

∴點(diǎn)B為：（1，3），

把點(diǎn)A、B代入y＝ax2+bx，得

，解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸于G，NH⊥GM于H．

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠PAN＝45°，

∵∠NMP＝90°，

∴∠PAN＝∠NMP，

∴N、P、A三點(diǎn)在以M為圓心MA為半徑的⊙M上，

∴MN＝MP，

∵∠NHM＝∠PGM＝∠NMP＝90°，

∴∠NMH+∠PMG＝90°，∠PMG+∠MPG＝90°，

∴∠NMH＝∠MPG，

∴△NMH≌△MPG，

∴NH＝MG，HM＝PG，

∵P（t，0），

∴Q（t，﹣t2+4t），M（，）

∴MG＝NH

∴﹣n＝

∴n＝，（0＜t＜3）．

∵MN∥AE，QM＝MA，

∴EN＝QN，

∴N為EQ中點(diǎn)，即Nx=

∴＝，

∴t2﹣4t+4＝0，

解得：t＝2

∴t＝2時(shí)，MN∥AE．

（3）四邊形ODFA的面積有最小值．

設(shè)OT＝m，四邊形ODFA的面積為S

∵C是拋物線對(duì)稱上一點(diǎn)，

∴CO＝CA．

∵直線AB繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)15°，

∴∠OAC=60°

∴△OAC是等邊三角形

∵OA＝4，S△OAC＝×42＝，

∴CD＝AF＝AT＝4﹣m，CF＝OT＝m，

過(guò)D作DR⊥AC，垂足為R，

則DR＝DCsin60°＝（4﹣m），

∴S△CDF＝CFDR＝m（4﹣m）＝﹣m2+m，

∴S＝S△OAC﹣S△CDF

＝4﹣（﹣m2+m）

＝（m﹣2）2+3．

∴在點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ODFA的面積有最小值為3．