【題目】已知一次函數(shù)yx+1與拋物線yx2+bx+cAm9),B0,1)兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線上且橫坐標(biāo)為6

1)寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)判斷△ABC的形狀,并證明你的結(jié)論;

3)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q在直線AB、BC、AC距離相等,如果存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的Q的坐標(biāo),如果不存在,說說你的理由.

【答案】1yx27x+1;(2)△ABC為直角三角形.理由見解析;(3)符合條件的Q的坐標(biāo)為(41),(241),(0,﹣7),(0,13).

【解析】

1)先利用一次函數(shù)解析式得到A8,9),然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式;

2)先利用拋物線解析式確定C6,﹣5),作AMy軸于M,CNy軸于N,如圖,證明△ABM和△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA45°,∠NBC45°,AB8 BN6,從而得到∠ABC90°,所以△ABC為直角三角形;

3)利用勾股定理計(jì)算出AC10 ,根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算公式得到RtABC的內(nèi)切圓的半徑=2 ,設(shè)△ABC的內(nèi)心為I,過AAI的垂線交直線BIP,交y軸于Q,AIy軸于G,如圖,則AI、BI為角平分線,BIy軸,PQ為△ABC的外角平分線,易得y軸為△ABC的外角平分線,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷點(diǎn)P、I、Q、G到直線AB、BC、AC距離相等,由于BI×24,則I4,1),接著利用待定系數(shù)法求出直線AI的解析式為y2x7,直線AP的解析式為y=﹣x+13,然后分別求出P、Q、G的坐標(biāo)即可.

1Am,9)代入yx+1m+19,解得m8,則A8,9),

A8,9),B0,1)代入yx2+bx+c,解得

∴拋物線解析式為yx27x+1;

故答案為yx27x+1;

2ABC為直角三角形.理由如下:

當(dāng)x6時(shí),yx27x+13642+1=﹣5,則C6,﹣5),

AMy軸于M,CNy軸于N,如圖,

B0,1),A8,9),C6,﹣5),

BMAM8,BNCN6

∴△ABMBNC都是等腰直角三角形,

∴∠MBA45°,∠NBC45°,AB8,BN6,

∴∠ABC90°

∴△ABC為直角三角形;

3)∵AB8BN6,

AC10

RtABC的內(nèi)切圓的半徑=,

設(shè)ABC的內(nèi)心為I,過AAI的垂線交直線BIP,交y軸于Q,AIy軸于G,如圖,

IABC的內(nèi)心,

AIBI為角平分線,

BIy軸,

AIPQ,

PQABC的外角平分線,

易得y軸為ABC的外角平分線,

∴點(diǎn)I、PQGABC的內(nèi)角平分線或外角平分線的交點(diǎn),

它們到直線AB、BC、AC距離相等,

BI×24,

BIy軸,

I4,1),

設(shè)直線AI的解析式為ykx+n,

,解得,

∴直線AI的解析式為y2x7,

當(dāng)x0時(shí),y2x7=﹣7,則G0,﹣7);

設(shè)直線AP的解析式為y=﹣x+p

A8,9)代入得﹣4+n9,解得n13,

∴直線AP的解析式為y=﹣x+13

當(dāng)y1時(shí),﹣x+131,則P24,1

當(dāng)x0時(shí),y=﹣x+1313,則Q013),

綜上所述,符合條件的Q的坐標(biāo)為(4,1),(24,1),(0,﹣7),(0,13).

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