Question

【題目】如圖,矩形中,,對(duì)角線、交于點(diǎn),的平分線分別交、于點(diǎn)、,連接.

(l)求的度數(shù)；

(2)若,求的面積；

(3)求.

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）；（3）

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可得AB∥CD，AO=CO=BO=DO，由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求BC=BE=BO，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)H作FH⊥BC于F，由直角三角形的性質(zhì)可得FH=BF，BC=BF+BF=1，可求BH的長(zhǎng)，由三角形面積公式可求△BCH的面積；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BO于N，由直角三角形的性質(zhì)可求BC=BF+BF=BO=BE，OH=OB-BH=BF-BF，CN=BC=BF，即可求解．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴AB∥CD，AO=CO=BO=DO，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE平分∠BCD
∴∠BCE=∠DCE=45°，
∴∠BCE=∠BEC=45°
∴BE=BC
∵∠BAC=30°，AO=BO=CO
∴∠BOC=60°，∠OBA=30°
∵∠BOC=60°，BO=CO
∴△BOC是等邊三角形
∴BC=BO=BE，且∠OBA=30°
∴∠BOE=75°
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)H作FH⊥BC于F，

∵△BOC是等邊三角形
∴∠FBH=60°，FH⊥BC
∴BH=2BF，FH=BF，
∵∠BCE=45°，FH⊥BC
∴CF=FH=BF
∴BC=BF+BF=1
∴BF=，

∴FH=，

∴S△BCH=×BC×FH=；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BO于N，

∵△BOC是等邊三角形
∴∠FBH=60°，FH⊥BC
∴BH=2BF，FH=BF，
∵∠BCE=45°，FH⊥BC
∴CF=FH=BF
∴BC=BF+BF=BO=BE，
∴OH=OB-BH=BF-BF
∵∠CBN=60°，CN⊥BO

∴，

∴，

∴.