Question

（2012•南京）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

分析：（1）先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由AC⊥BD入手，進行正方形的判斷．
（2）連接EG，利用梯形的中位線定理求出EG的長，然后結合（1）的結論求出EH²=

9

2

，也即得出了正方形EHGF的面積．

解答：證明：（1）在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點，
故可得：EF=

1

2

AC，同理FG=

1

2

BD，GH=

1

2

AC，HE=

1

2

BD，
在梯形ABCD中，AB=DC，
故AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形．
在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點，
則EH∥BD，
同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四邊形EFGH是正方形．

（2）連接EG．
在梯形ABCD中，
∵E、G分別是AB、DC的中點，
∴EG=

1

2

（AD+BC）=3．
在Rt△EHG中，
∵EH²+GH²=EG²，EH=GH，
∴EH²=

9

2

，即四邊形EFGH的面積為

9

2

．

點評：此題考查了等腰梯形的性質及三角形、梯形的中位線定理，解答本題的關鍵是根據(jù)三角形的內角和定理得出EH=HG=GF=FE，這是本題的突破口．