Question

【題目】如圖，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，頂點(diǎn)A、D分別在∠ABC的兩邊BA、BC上滑動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），△ADE的外接圓交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)D在點(diǎn)F的右側(cè)，O為圓心．

（1）求證：△ABD≌△AFE

（2）若AB=4，8＜BE≤4，求⊙O的面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）16π＜S≤40π

【解析】試題分析：（1）利用同弧所對(duì)的圓周角相等得出兩組相等的角，再利用已知AE=AD，得出三角形全等；（2）利用△ABD≌△AFE，和已知條件得出BF的長(zhǎng)，利用勾股定理和8＜BE≤4，求出EF,DF的取值范圍， ，所以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

試題解析：（1）連接EF，

∵△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，

∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°，

∵ ，

∴∠ADE=∠AFE=45°，

∵∠ABD=45°，

∴∠ABD=∠AFE，

∵，

∴∠AEF=∠ADB，

∵AE=AD，

∴△ABD≌△AFE；

（2）∵△ABD≌△AFE，

∴BD=EF，∠EAF=∠BAD，

∴∠BAF=∠EAD=90°，

∵ ，

∴BF==8，

設(shè)BD=x，則EF=x，DF=x﹣8，

∵BE2=EF2+BF2， ＜BE≤ ，

∴128＜EF2+82≤208，

∴8＜EF≤12，即8＜x≤12，

則=，

∵＞0，

∴拋物線的開口向上，

又∵對(duì)稱軸為直線x=4，

∴當(dāng)8＜x≤12時(shí)，S隨x的增大而增大，

∴16π＜S≤40π．