【題目】已知如圖,在△ABC,AB=AC,D是線段BC上一個動點,AD為腰在線段AD的右側(cè)作△ADE,AD=AE。

(1)如圖①,當∠BAC=DAE=90°時,試判斷線段BDCE有什么關系,并給出證明:

(2)(1)的條件下,BC=4.試判斷四邊形ADCE的面積是否發(fā)生變化,若不變,求出四邊形ADCE的面積;若變化,請說明理由;

(3)如圖②,若∠BAC=DAE=120°,BC=4,試探索△DCE的面積是否存在最大值,若存在,求出此時∠DEC的度數(shù),若不存在,請說明理由。

【答案】1BD=CE,證明見解析;(2)不變,4;(3)存在,60°.

【解析】

1)根據(jù)同角的余角相等,可得∠BAD=CAE,運用“SAS”證明ABD≌△ACE,根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對應邊相等,即可得到線段CE、BD之間的關系;

2)由(1)得 ,所以 ,可得出四邊形ADCE的面積不發(fā)生變化,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出斜邊BC上的高,即可求出面積;

3)由 , 可得的值最小時DCE的面積存在最大值,由垂線段最短可得ADBCAD=AE的值最小,則的值最小,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求∠DEC的度數(shù).

1BD=CE.

證明:∵∠BAC=DAE=90°
∴∠BAD+DAC=CAE+DAC,
∴∠BAD=CAE
DABEAC中,
∴△DAB≌△EACSAS),
BD=CE;

2)∵DAB≌△EAC

,即四邊形ADCE的面積不發(fā)生變化;

∵∠BAC=90°AB=AC,BC=4

RtABC斜邊上的高=2

3)由(2)得

的值最小時DCE的面積存在最大值,

由垂線段最短可得ADBCAD=AE的值最小,則的值最小,如下圖,

∵∠BAC=DAE=120°,AB=AC,AD=AE

∴∠B=ACB=AED=30°, BAD+DAC=CAE+DAC,
∴∠BAD=CAE,
DABEAC中,
∴△DAB≌△EACSAS),

DAB≌△EAC,ADBC

∴∠AEC=ADB=90°

DEC=90°-30°=60°.

故答案為:(1BD=CE,證明見解析;(2)不變,4;(3)存在,60°.

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平均數(shù)/

中位數(shù)/

眾數(shù)/

77.6

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_____________

_____________

______________

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