Question

如圖，點P為x軸正半軸上的一個點，過點P作x軸軸的垂線，交函數的圖象于點A，交函數的圖象于點B，過點B作x軸的平行線，交于點c，邊接AC．
（1）當點P的坐標為（1，0）時，求△ABC的面積；
（2）當點P的坐標為（1，0）時，在y軸上是否存在一點Q，使A、O、Q三點為頂點的三角形△QAO為等腰三角形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，說明理由．
（3）請你連接OA和OC．當點P的坐標為（t，0）時，△OAC的面積是否隨t的值的變化而變化？請說明理由．

Answer 1

解：（1）當當點P的坐標為（1，0）時，點A、B的橫坐標為1，
∵點A在反比例函數y=上，點B在反比例函數y=上，
∴點A（1，1），點B（1，4），
∵BC∥x軸，
∴點C的縱坐標為4，
又∵點C在y=上，
∴點C的坐標為（，4），
∴AB=3，BC=，
∴S_△ABC=×BC×AB=；
（2）如圖①所示：OA==，
①若OA=OP，點P位于P₁或P₂位置，此時P₁（0，-），P₂（0，）；


②若AP=AO，點P位于P₃位置，此時P₃（0，2）；
③若PO=PA，點P位于P4位置，此時P₄（0，1）；
（3）過點C作CE⊥x軸于點E，CD⊥y軸于點D，如圖②所示：

∵點P的坐標為（t，0），
∴點A的坐標為（t，），點B（t，），點C（，），
∴S_△OAC=S_矩形CDOE+S_梯形AFEC-S_△OCD-S_△OAF=1+（+）×（t-）--=；
故△OAC的面積不隨t的值的變化而變化．
分析：（1）當點P的坐標為（1，0）時，點A、B的橫坐標為1，分別代入解析式，求出A、B的坐標，由點B的坐標可得點C的縱坐標，代入y=，可得點C的坐標，表示出BC、AB的長度后，即可得出△ABC的面積．
（2）先求出OA的長度，然后分情況討論，①OA=OP，②AP=AO，③PO=PA，分別得出點Q的坐標即可．
（3）根據題意可得點A的坐標為（t，），點B（t，），點C（，），過點C作CE⊥x軸于點E，CD⊥y軸于點D，根據S_△OAC=S_矩形CDOE+S_梯形AFEC-S_△OCD-S_△OAF，表示出示出△OAC的面積，即可得出答案．
點評：本題考查了反比例函數的綜合，涉及了反比例函數的k的幾何意義，梯形的面積及等腰三角形的判定，解答本題的關鍵是分類討論思想及數形結合思想的綜合運用，難度較大．