Question

如圖，點(diǎn)A為y軸正半軸上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)A任作直線交拋物線y=

2

3

x2于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求證：∠ABP=∠ABQ；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），且∠PBQ=60°，試求所有滿足條件的直線PQ的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線y=

2

3

x2的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法球函數(shù)解析式，根與系數(shù)的關(guān)系和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（2）利用（1）中已知與結(jié)論，繼續(xù)由相似三角形，根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)解析式求得結(jié)果．

解答：（1）證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)P，Q作y軸的垂線，垂足分別為C，D．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，t），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-t）．
設(shè)直線PQ的函數(shù)解析式為y=kx+t，并設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別為（x_P，y_P），（x_Q，y_Q）．由

y=kx+t y= 2 3 x2

，
得

2

3

x2-kx-t=0，
于是xPxQ=-

3

2

t，即t=-

2

3

xPxQ．
于是

BC

BD

=

yP+t

yQ+t

=

2 3 xP2+t

2 3 xQ2+t

=

2 3 xP2- 2 3 xPxQ

2 3 xQ2- 2 3 xPxQ

=

2 3 xP(xP-xQ)

2 3 xQ(xQ-xP)

=-

xP

xQ

．，
又因?yàn)?span id="9rlz9hv" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

PC

QD

=-

xP

xQ

，所以

BC

BD

=

PC

QD

．
因?yàn)椤螧CP=∠BDQ=90°，
所以△BCP∽△BDQ，
故∠ABP=∠ABQ；

（2）解：設(shè)PC=a，DQ=b，不妨設(shè)a≥b＞0，由（1）可知
∠ABP=∠ABQ=30°，BC=

3

a，BD=

3

b，
所以AC=

3

a-2，AD=2-

3

b．
因?yàn)镻C∥DQ，所以△ACP∽△ADQ．
于是

PC

DQ

=

AC

AD

，即

a

b

=

3 a-2

2- 3 b

，
所以a+b=

3

ab．
由（1）中xPxQ=-

3

2

t，即-ab=-

3

2

，所以ab=

3

2

，a+b=

3 3

2

，
于是可求得a=2b=

3

．
將b=

3

2

代入y=

2

3

x2，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)（

3

2

，

1

2

）．
再將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入y=kx+1，求得k=-

3

3

．
所以直線PQ的函數(shù)解析式為y=-

3

3

x+1．
根據(jù)對(duì)稱性知，所求直線PQ的函數(shù)解析式為y=-

3

3

x+1或y=

3

3

x+1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及對(duì)稱解決問(wèn)題．