Question

已知△ABC為等邊三角形，E為射線(xiàn)BA上一點(diǎn)，D為直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，ED=EC．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在A(yíng)B的上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖1），求證：AE+AC=CD；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在BC上時(shí)（如圖2），猜想AE、AC和CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖3），請(qǐng)直接寫(xiě)出AE、AC和CD的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）在CD上截取CF=AE，連接EF．運(yùn)用“AAS”證明△ECF≌△EDB得AE=BD，從而得證；
（2）在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CF=AE，連接EF．同理可得AE、AC和CD的數(shù)量關(guān)系；
（3）同（2）的探究過(guò)程可得AE、AC和CD的數(shù)量關(guān)系．
解答：
（1）證明：在CD上截取CF=AE，連接EF．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC．
∴BF=BE，△BEF為等邊三角形．
∴∠EBD=∠EFC=120°．
又∵ED=EC，
∴∠D=∠ECF．
∴△EDB≌△ECF （AAS）
∴CF=BD．
∴AE=BD．
∵CD=BC+BD，BC=AC，
∴AE+AC=CD；

（2）解：在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CF=AE，連接EF．
同（1）的證明過(guò)程可得AE=BD．
∵CD=BC-BD，BC=AC，
∴AC-AE=CD；

（3）解：AE-AC=CD．
（在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CF=AE，連接EF．證明過(guò)程類(lèi)似（2））．
點(diǎn)評(píng)：此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，運(yùn)用了類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行探究，有利于培養(yǎng)分散思維習(xí)慣和舉一反三的能力．