Question

【題目】如圖1，⊙O的半徑為r（r＞0），若點P′在射線OP上，滿足OP′OP=r2 ， 則稱點P′是點P關于⊙O的“反演點”． 如圖2，⊙O的半徑為4，點B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點A′，B′分別是點A，B關于⊙O的反演點，求A′B′的長．

Answer 1

【答案】解：設OA交⊙O于C，連結B′C，如圖2，
∵OA′OA=42 ，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′OB=42 ，
∴OB′=4，即點B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，
而點A′為OC的中點，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′= ，
∴A′B′=4sin60°=2 ．
【解析】設OA交⊙O于C，連結B′C，如圖2，根據(jù)新定義計算出OA′=2，OB′=4，則點A′為OC的中點，點B和B′重合，再證明△OBC為等邊三角形，則B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定義可求A′B′的長．