【題目】在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E是BC上一點(diǎn),連接DE,點(diǎn)F在邊CD上,且AF⊥CD交DE于點(diǎn)G,連接CG.已知∠DEC=45°,GC⊥BC.
(1)若∠DCG=30°,CD=4,求AC的長(zhǎng).
(2)求證:AD=CG+DG.
【答案】(1)AC=2;(2)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)延長(zhǎng)CG交AD于N,連接NF,AC交DE于H,證出∠DGN=∠CGE=45°,GC⊥AD,得出∠GFD=90°=∠GND,證出N、G、F、D四點(diǎn)共圓,由圓周角定理得出∠NFG=∠NDG=45°,由∠ANC=∠AFC=90°,得出A、N、F、C四點(diǎn)共圓,由圓周角定理得出∠ACN=∠NFG=45°,得出△ACN是等腰直角三角形,即可得出答案;
(2)由(1)得:△ADH、△CGH是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
(1)解:延長(zhǎng)CG交AD于N,連接NF,AC交DE于H,如圖所示:
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∵GC⊥BC,∠DEC=45°,
∴∠DGN=∠CGE=45°,GC⊥AD,
∴∠GND=90°,
∴∠NDG=45°,
∵AF⊥CD,
∴∠GFD=90°=∠GND,
∴N、G、F、D四點(diǎn)共圓,
∴∠NFG=∠NDG=45°,
又∵∠ANC=∠AFC=90°,
∴A、N、F、C四點(diǎn)共圓,
∴∠ACN=∠NFG=45°,
∴△ACN是等腰直角三角形,
∴AC=CN=2;
(2)證明:由(1)得:△ADH、△CGH是等腰直角三角形,
∴AD=HD=(HG+DG)=HG+DG=CG+DG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A
(1)求和的值.
(2)過(guò)點(diǎn)B作BC∥x軸,與雙曲線交于點(diǎn)C,求△OAC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為 6 的等邊△ABC 中,D 為 AC 上一點(diǎn),AD=2,P 為 BD 上一點(diǎn),連接 CP,以 CP 為 邊,在 PC 的右側(cè)作等邊△CPQ,連接 AQ 交 BD 延長(zhǎng)線于 E,當(dāng)△CPQ 面積最小時(shí),QE=____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,已知∠C=90°,∠B=60°,點(diǎn)D在邊BC上,過(guò)D作DE⊥AB于E.
(1)連接AD,取AD的中點(diǎn)F,連接CF,EF,判斷△CEF的形狀,并說(shuō)明理由
(2)若BD=CD.把△BED繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m(0<m<180)度后,如果點(diǎn)B恰好落在初始Rt△ABC的邊上,那么m=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)O為∠BAC的平分線上一點(diǎn),連接OB、OC.
(1)求證:OB=OC;
(2)若OA=OC,∠BAC=46°,求∠OCB的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市正在開(kāi)展“食品安全城市”創(chuàng)建活動(dòng),為了解學(xué)生對(duì)食品安全知識(shí)的了解情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果按照“A非常了解、B了解、C了解較少、D不了解”四類(lèi)分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制了下列兩幅統(tǒng)計(jì)圖(不完整).請(qǐng)根據(jù)圖中信息,解答下列問(wèn)題:
(1)此次共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中D所在扇形的圓心角為 ;
(3)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(4)若該校共有800名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)對(duì)食品安全知識(shí)“非常了解”的學(xué)生的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是我校聞瀾閣前樓梯原設(shè)計(jì)稿的側(cè)面圖,,,樓梯的坡比為1:,為了增加樓梯的舒適度,將其改造成如圖2,測(cè)量得,為的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作交的角平分線于點(diǎn),交于點(diǎn),其中和為樓梯,為平地,則平地的長(zhǎng)度為_________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn),作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別為R、S,若AQ=PQ,PR=PS,則結(jié)論:①PA平分∠RPS;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP.其中正確的有( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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