Question

如圖，正方形ABCD中，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)（P點(diǎn)不與B、D重合），PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，連接EF，猜想AP與EF的關(guān)系并證明你的結(jié)論.

Answer 1

AP⊥EF，AP=EF

試題分析：
解：AP⊥EF，AP=EF
方法1：延長(zhǎng)FP交AB于M
延長(zhǎng)AP交EF于N
可證四邊形MFCB為矩形
得MF=BC
四邊形ABCD為正方形
得AB=BC
∴MF=AB
可證PM=BM
∴AM=PF
可證△AMP≌△FPE得AP=EF
得∠PFE=∠MAP
∵∠FPN=∠MPA
∴∠PNF=∠AMP=90°
∴AP⊥EF
方法2：連接PC交EF于O
證四邊形PFCE為矩形
得PC=EF
證△APD≌△CPD
得PC=AP
∴EF=AP
∵四邊形PFCE為矩形
可證OF=OC
得∠OFC=∠OCF
∵∠PFC=90°
∴∠PFO+∠OFC=90°
∴∠PFO+∠OCF=90°
∵△APD≌△CPD
∴∠DAP=∠DCP
∴∠PFO+∠DAP=90°
∵四邊形DANF內(nèi)角和為360°
即∠DAN+∠ADF+∠NFP+∠PFD+∠ANF=360°
可證∠ANF=90°
∴AP⊥EF于N

點(diǎn)評(píng)：此類試題，線與線的關(guān)系有相等和垂直，相等可通過證明全等三角形對(duì)應(yīng)邊求得，垂直可通過證明全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，再進(jìn)行等量代換。