Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，是的中點(diǎn)，弦于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．

（1）連接，求；

（2）點(diǎn)在上，，DF交于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)垂徑定理可得AB垂直平分CD，再根據(jù)M是OA的中點(diǎn)及圓的性質(zhì)，得出△OAD是等邊三角形即可；

（2）根據(jù)題意得出∠CNF=90°，再由Rt△CDE計(jì)算出CD，CN的長(zhǎng)度，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出∠F=60°，從而根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算出FN的值即可．

解：（1）如圖，連接OD，

∵是⊙的直徑，于點(diǎn)

∴AB垂直平分CD，

∵M是OA的中點(diǎn)，

∴

∴

∴∠DOM=60°，

又∵OA=OD

∴△OAD是等邊三角形

∴∠OAD=60°．

（2）如圖，連接CF，CN，

∵OA⊥CD于點(diǎn)M，

∴點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，

∴AB垂直平分CD

∴NC=ND

∵∠CDF=45°，

∴∠NCD=∠NDC=45°，

∴∠CND=90°，

∴∠CNF=90°，

由（1）可知，∠AOD=60°，

∴∠ACD=30°，

又∵交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

∴∠E=90°，

在Rt△CDE中，∠ACD=30°，，

∴

在Rt△CND中，∠CND=90°，∠NCD=∠NDC=45°，，

∴

由（1）可知，∠CAD=2∠OAD=120°，

∴∠F=180°-120°=60°，

∴在Rt△CFN中，∠CNF=90°，∠F=60°，，

∴