Question

9．心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．經(jīng)過實驗分析可知，學生的注意力指數(shù)y隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：
（1）求出線段AB，曲線CD的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？
（3）一道數(shù)學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指數(shù)最低達到36，那么經(jīng)過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法分別求出AB和CD的函數(shù)表達式，進而得出答案；
（2）利用（1）中所求，得出第五分鐘和第三十分鐘的注意力指數(shù)，最后比較判斷；
（3）分別求出注意力指數(shù)為36時的兩個時間，再將兩時間之差和19比較，大于19則能講完，否則不能．

解答 解：（1）設線段AB所在的直線的解析式為y₁=k₁x+20，
把B（10，40）代入得，k₁=2，
∴AB解析式為：y₁=2x+20（0≤x≤10）．
設C、D所在雙曲線的解析式為y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$，
把C（25，40）代入得，k₂=1000，
∴曲線CD的解析式為：y₂=$\frac{1000}{x}$（x≥25）；

（2）當x₁=5時，y₁=2×5+20=30，
當x₂=30時，y₂=$\frac{1000}{30}$，
∴y₁＜y₂
∴第30分鐘注意力更集中．

（3）令y₁=36，
∴36=2x+20，
∴x₁=8
令y₂=36，
∴36=$\frac{1000}{x}$，
∴x₂=$\frac{1000}{36}$≈27.8，
∵27.8-8=19.8＞19，
∴經(jīng)過適當安排，老師能在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)的應用．解題的關鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關系式，從實際意義中找到對應的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)自變量的值求算對應的函數(shù)值．