【題目】如圖,DABCBC邊上一點,連接AD,作ABD的外接圓,將ADC沿直線AD折疊,點C的對應點E落在⊙O上.

1)求證:AEAB

2)填空:

①當∠CAB90°cosADB,BE2時,邊BC的長為   

②當∠BAE   時,四邊形AOED是菱形.

【答案】(1)見解析;(2)①3;②60°

【解析】

1)利用折疊的性質(zhì)得出AC=AE,∠C=AED,再判斷出∠C=ABC,得出AB=AC,即可得出結(jié)論;

2)①先求出EF=1,再判斷出∠AEB=ADB,利用銳角三角函數(shù)求出AE,進而求出AB,即可得出結(jié)論;

②先判斷出AOD是等邊三角形,得出∠ADO=60°,進而求出∠ADE=120°,再求出∠C=ABC=DAC=30°,即可求出∠BAC=120°,利用折疊的性質(zhì)求出∠CAE=60°,即可得出結(jié)論.

1)證明:由折疊知,ACAE,∠C=∠AED

∵∠ABC=∠AED,

∴∠C=∠ABC,

ABAC,

AEAB;

2)①如圖1,過點AAFBEF,

由(1)知,AEAB,

EFBE1

∵∠ADB=∠AEB,cosADB

cosAEB,

RtAFE中,cosAEB,

AE3EF3,

由(1)知,AEAB,

AB3

由(1)知,ABAC

∵∠CAB90°,

BCAB3

故答案為3;

②如圖2,

∵四邊形AOED是菱形,

DEOAAD,

連接OD,

OAOD,

ADOAOD,

∴△AOD是等邊三角形,

∴∠ADO60°

同理:∠ODE60°,

∴∠ADE=∠ADO+ODE120°,

由折疊知,CDDE,∠ADC=∠ADE,

∴∠ADC120°,

ADDE,

CDAD,

∴∠DAC=∠C180°﹣∠ADC)=30°,

由(1)知,∠ABC=∠C,

∴∠BAC180°﹣∠C﹣∠ABC120°,

由折疊知,∠DAE=∠DAC30°

∴∠CAE=∠DAC+DAE60°,

∴∠BAE=∠BAC﹣∠CAE60°,

故答案為60°

練習冊系列答案
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1)求am的關系式;

2)求證:為定值;

3)設該二次函數(shù)的圖象的頂點為F.探索:在x軸的正半軸上是否存在點G,連結(jié)GF,以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一個滿足要求的點G即可,并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標;如果不存在,請說明理由.

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1)問題發(fā)現(xiàn)

①當α時,_______;

②當α180°時,______

2)拓展探究

試判斷:當0°≤α360°時,的大小有無變化?請僅就圖2的情形給出證明.

3)問題解決

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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