Question

如圖①所示，已知A、B為直線a上兩點，點C為直線a上方一動點，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過點D作DD₁┴a于點D₁ ，過點E作EE₁┴a于點E₁。

 

       

圖①                      圖②                        圖③

⑴如圖②，當點E恰好在直線a上時，（此時E₁和E重合）。試說明DD₁=AB；

⑵如圖①中，當D、E兩點都在直線a的上方時，試探求三條線段DD₁、EE₁、AB之間的數(shù)量關系，并說明理由。

⑶如圖③，當點E在直線a的下方時，請直接寫出三條線段DD₁、EE₁、AB之間的數(shù)量關系。（不需要證明）

Answer 1

（1）證明：∵四邊形CADF、CBEG是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，           （1分）

∴∠DAD1+∠CAB=90°，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠ABC=90°，                   
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∴∠ADD1=∠CAB，                       
在△ADD1和△CAB中，
，
∴△ADD1≌△CAB（AAS），        （3分）
∴DD1=AB；                         （4分）
（2）AB=DD1+EE1．        （5分）
證明：過點C作CH⊥AB于H，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∵四邊形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°，
∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，
，
∴△ADD1≌△CAH（AAS），         （7分）
∴DD1=AH；
同理：EE1=BH，                  （8分）
∴AB=AH+BH=DD1+EE1；          （9分）

（3）AB=DD1-EE1．（10分）