Question

【題目】如圖所示,AB＝6,AC＝3,∠BAC＝60°,為⊙O上的一段弧,且∠BOC＝60°,分別在、線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F,則PE＋EF＋FP的最小值為__________

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AP、O、OA，分別以AB、AC所在直線為對(duì)稱(chēng)軸，作出P關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，P關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接MN，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接PE、PF，所以

AM=AP=AN，設(shè)AP=r，則MN=，所以PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=，即當(dāng)AP最小時(shí)，PE+EF+PF可取最小值，由AP+OP≥OA可知AP≥OA﹣OP，即點(diǎn)P在OA上時(shí)，AP可取得最小值，利用勾股定理即可求得AP的長(zhǎng)度，即可解答.

連接BC，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，如圖1

則AD=BD=3

∴AD=BD=AC

∵∠BOC＝60°

∴△ADC是等邊三角形

∴CD=AC=3

∴CD=AB

∴∠ACB=90°

連接AP、O、OA，分別以AB、AC所在直線為對(duì)稱(chēng)軸，作出P關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，P關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接MN，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接PE、PF，

∴AM=AP=AN

∵∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC

∵∠BAC=∠PAB+∠PAC=∠MAB+∠NAC=60°

∴∠MAN=120°

∴M、P、N在以A為圓心AP為半徑的圓上

設(shè)AP=r，則MN=

∵PE=ME，PF=FN

∴PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=

∴當(dāng)AP最小時(shí)，PE+EF+PF可取最小值

∵AP+OP≥OA

∴AP≥OA﹣OP，即點(diǎn)P在OA上時(shí)，AP可取得最小值

在Rt△ABC中，∵AB＝6,AC＝3,∠BAC＝60°

∴BC=

∵∠BOC=60°，OB=OC

∴△OBC是等邊三角形

∴OC=BC=，作OH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于H

在Rt△OCH中，∵OC=，∠OCH=30°

∴OH=OC=，CH=OH=

在Rt△AOH中，AO=

此時(shí)AP=r=

∴PE+EF+PF的最小值為

故答案為：