Question

【題目】如圖，在△OAB中，OA=OB，以點O為圓心的⊙O經(jīng)過AB的中點C，直線AO與⊙O相交于點E、D，OB交⊙O于點F，P是 的中點，連接CE、CF、BP．
（1）求證：AB是⊙O的切線．
（2）若OA=4，則 ①當 長為時，四邊形OECF是菱形；
②當 長為時，四邊形OCBP是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABO中，OA=OB，C是AB的中點，

∴OC⊥AB．

∵OC為⊙O的半徑，

∴AB是⊙O的切線．

（2）；
【解析】（2）①∵OECF為菱形， ∴OE=EC，∠EOC=∠COF．
∴OE=EC=OC．
∴∠EOC=∠COF=60°．
∴∠DOF=60°．
又∵P為弧DF的中點，
∴∠DOP=30°．
∵∠AOC=60°，∠OCA=90°，
∴OC= OA=2．
∴弧DP的長= = ．
②∵四邊形OCBP為正方形，
∴∠COB=∠POB=45°．
∴OC= OB=2 ．
∵P為弧DF的中點，
∴∠DOP=45°．
∴弧DP的長= = ．
所以答案是：① ；② ．
（1）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知OC⊥AB，依據(jù)題意可知OC為⊙O的半徑，故此可證明AB是⊙O的切線；（2）①由菱形的性質(zhì)可知：OE=EC，∠EOC=∠COF，然后證明△OEC為等邊三角形可得到∠EOC的度數(shù)，然后可求得∠DOP的度數(shù)，接下來，在△OAC中，利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OC的長，最后依據(jù)弧長公式求解即可；②依據(jù)正方形的性質(zhì)可求得OC= ，∠POF=45°，然后可得到∠DOP的度數(shù)，最后依據(jù)弧長公式求解即可．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和正方形的判定方法的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能正確解答此題．