Question

（14分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數式表示PG的長度；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+4；

（2）PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m

（3）m的值為﹣1或﹣．

【解析】

試題分析：（1）把點A（1，0），點B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c，得方程組，然后解方程再即可；（2）由PE⊥x軸可知點P與點E的橫坐標相同x=m，代入（1）中函數解析式y(tǒng)=﹣x2﹣x+4可得點P的縱坐標，然后根據PG=PE-EG代入化簡即可；（3）求出直線BD的解析式，然后用含m的代數式表示PG、HE、DE、DH的長度，然后分△BGP∽△DEH和△PGB∽△DEH，兩種情況，利用相似三角形的性質對應邊成比例得出關于m的方程，然后解方程即可.

試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，4），∴，

解得，∴拋物線的解析式為；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，

∴P（m，，G（m，4），∴PG=；

點P在直線BC上方時，故需要求出拋物線與直線BC的交點，

令4=，解得m=-2或0，即m的取值范圍：-2＜m＜0，

PG的長度為：（-2＜m＜0）；

（3）在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似．

∵y=，

∴當y=0時，=0，

解得x=1或-3，

∴D（-3，0）．

當點P在直線BC上方時，-2＜m＜0．

設直線BD的解析式為y=kx+4，

將D（-3，0）代入，得-3k+4=0， 解得k= ，

∴直線BD的解析式為y=x+4，∴H（m，m+4）．

分兩種情況：

①如果△BGP∽△DEH，那么 ，

即 ，

解得m=0或-1，由-2＜m＜0，故m=-1；

②如果△PGB∽△DEH，那么 ，

即 ，

由-2＜m＜0，解得m=- ．

綜上所述，在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似，此時m的值為-1或- ．

考點：1.待定系數法求解析式；2.相似三角形的判定與性質；3.二次函數與幾何知識的綜合.

考點分析： 考點1：二次函數 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x 的二次函數。
①所謂二次函數就是說自變量最高次數是2;
②二次函數（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數，自變量x 的取值范圍是全體實數，b和c可以是任意實數，a是不等于0的實數，因為a=0時，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數，若b=0，則y=c是一個常數函數。
③二次函數（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯系，如果將變量y換成一個常數，那么這個二次函數就是一個一元二次函數。 二次函數的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數的一般形式的結構特征：
①函數的關系式是整式；
②自變量的最高次數是2；
③二次項系數不等于零。 二次函數的判定：
二次函數的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數；
判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是。 試題屬性

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