解:(1)根據(jù)題意,把點C(0,3)代入y=-x
2+2x+m,
解得m=3,
即二次根式的解析式為y=-x
2+2x+3,
即-x
2+2x+3=0,
解得x
1=-1,x
2=3,
∴點A,點B的坐標(biāo)分別是(-1,0),(3,0).
(2)假設(shè)存在符合題意的點P、Q,一定是∠PAQ=∠ACO;
∵若PAQ=∠CAO,則點P與點C重合,
點Q與點O重合,
∴△PAQ≌△CAO,不合題意;
∵若∠PAQ=∠COA=90°,顯然P不在拋物線上,
過A作AP,使∠PAO=∠ACO且與拋物線交于點P,
①若過點P作PQ
1⊥x軸交x軸于Q
1點,
設(shè)Q1(x
1,0),P(x
1,y
1),
∵∠CQ
1A=∠AOC,則△PQ
1A∽△AOC,
∴
,
即
,
解得x
1=
,代入拋物線的解析式中,
得y
1=
,
∴Q
1(
,P(
,存在△PQ
1A∽△AOC;
②由①所得點P作PQ
2⊥AP交x軸于Q
2,
設(shè)Q
2(x
2,0);
∵∠APQ
2∠COA,則△Q
2PA∽△AOC,
∴
,
=
,
.
∴Q
2(
,0),存在△PQ
2A∽△AOC;
綜上所述,存在符合條件的相似三角形,且Q、P的坐標(biāo)為:Q
1(
,Q
2(
,0),P(
.
分析:(1)根據(jù)C點坐標(biāo),可確定m的值,從而得到拋物線的解析式,令函數(shù)解析式的y=0,即可求得A、B的坐標(biāo).
(2)根據(jù)函數(shù)圖象可知,顯然∠PAQ不能是直角,已知以A,P,Q三點為頂點的三角形與△AOC相似但不全等,因此P、C不重合,即∠PAQ≠∠CAO,所以只考慮∠PAQ=∠ACO的情況,過A作∠PAQ=∠ACQ,交拋物線于點P,然后分兩種情況:
①∠PQA=∠COA=90°,此時PQ⊥x軸,可設(shè)出點Q的坐標(biāo),根據(jù)拋物線的解析式可表示出點P的坐標(biāo),進而根據(jù)相似三角形的比例線段求出點Q、P的坐標(biāo);
②∠APQ=∠COA=90°,設(shè)出點Q的坐標(biāo),然后表示出PA的長,根據(jù)相似三角形的比例線段即可求出此時點Q的坐標(biāo).
點評:此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識.(3)題中,應(yīng)根據(jù)相似三角形的不同對應(yīng)頂點分類討論,這是此題的難點.