【題目】已知:在△ABC中,D為BC邊上一點,B,C兩點到直線AD的距離相等.
(1)如圖1,若△ABC是等腰三角形,AB=AC,則點D的位置在;
(2)如圖2,若△ABC是任意一個銳角三角形,猜想點D的位置是否發(fā)生變化,請補全圖形并加以證明;
(3)如圖3,當△ABC是直角三角形,∠A=90°,并且點D滿足(2)的位置條件,用等式表示線段AB,AC,AD之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
【答案】
(1)點D為線段BC的中點
(2)證明:如圖1,作BE⊥AD于點E,CF⊥AD于點F,
∵BE⊥AD于點E,CF⊥AD于點F,
∴∠3=∠4=90°,
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD.
∴BD=DC.即點D是BC邊的中點.
(3)證明:如圖2,延長AD到點H使DH=AD,連接HC.
∵點D是BC邊的中點,
∴BD=DC.
在△ABD和△HCD中,
∴△ABD≌△HCD.
∴∠1=∠3,AB=CH.
∵∠A=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∴∠2+∠3=90°.
∴∠ACH=90°.
∴AC2+CH2=AH2.
又∵DH=AD,
∴AC2+AB2=(2AD)2.
∴AC2+AB2=4AD2.
【解析】(1)根據(jù)等腰三角形底邊上的三線合一知D點在BC的中點處;
(2)作BE⊥AD于點E,CF⊥AD于點F,根據(jù)垂直的定義得出∠3=∠4=90°,然后利用AAS判斷出△BED≌△CFD.根據(jù)全等三角形對應邊相等得出BD=DC.即點D是BC邊的中點;
(3)延長AD到點H使DH=AD,連接HC.根據(jù)中點定義得BD=DC,然后由SAS判斷出△ABD≌△HCD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠1=∠3,AB=CH.然后根據(jù)等量代換得出∠ACH=90°.根據(jù)夠勾股定理得出AC2+CH2=AH2.又因DH=AD,故AC2+AB2=(2AD)2,即AC2+AB2=4AD2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在彩虹讀書活動中,某校決定為八年級學生購買同等數(shù)量的《鋼鐵是怎樣煉成的》和《居里夫人自傳》,供學生借閱.其中《居里夫人自傳》的單價比《鋼鐵是怎樣煉成的》的單價多8元.若學校購買《居里夫人自傳》用了1 000元,購買《鋼鐵是怎樣煉成的》用了600元,請問兩種書的單價各是多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小紅家最近新蓋了房子,室內(nèi)裝修時,木工師傅讓小紅爸爸去建材市場買一塊長3m,寬2.2m的薄木板用來做家居面,到了市場爸爸看到滿足這個尺寸的木板有點大,買還是不買爸爸猶豫了,因為他知道他家門框高只有2m,寬只有1m,他不知道這塊木板買回家后能不能完整的通過自家門框.請你替小紅爸爸解決一下難題,幫他算一算要買的木板能否通過自家門框進入室內(nèi).(備用圖可供做題參考,薄木板厚度可以忽略不計)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,AC的垂直平分線分別交AC,AD,AB于點E,O,F(xiàn),連接OC,OB,則圖中全等的三角形有( )
A.1對
B.2對
C.3對
D.4對
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,
(1)作圖:作BC邊的垂直平分線分別交BC,BD于點E,F(xiàn)(用尺規(guī)作圖法,保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)在(1)的條件下,連接CF,若∠A=60°,∠ABD=24°,求∠ACF的度數(shù).
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