【題目】在△ABC中,點P是平面內(nèi)任意一點(不同于A、B、C),若點P與A、B、C中的某兩點的連線的夾角為直角時,則稱點P為△ABC的一個勾股點.
(1)如圖1,若點P是△ABC內(nèi)一點,∠A=55°,∠ABP=10°,∠ACP=25°,試說明點P是△ABC的一個勾股點;
(2)如圖2,等腰△ABC的頂點都在格點上,點D是BC的中點,點P在直線AD上,請在圖中標出使得點P是△ABC的勾股點時,點P的位置;
(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=16,點D是AB的中點,點P在射線CD上.若點P是△ABC的勾股點,請求出CP的長;
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)7.2或12.8或20.
【解析】
(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,證得∠CPB=90°即可;
(2)根據(jù)網(wǎng)格特點以及勾股點的定義進行解答即可;
(3)分情況討論:①∠APC=90°時.②當∠CPB=90°時.③當∠APB=90°時.分別求解即可.
解:(1)在△ABC中,∠A=55°,
∴∠ACB+∠ABC=125°.
∵∠ACP=10°,∠ABP=25°,
∴∠PCB+∠PBC=90°.
∴∠CPB=90°,
∴點P是△ABC的一個勾股點.
(2)如圖,點P1,P2,P3即為所求.
(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=16.
∴AB=20,
又∵點D是AB的中點,
∴AD=BD=CD=10,
①∠APC=90°時,設CP=x,DP=10﹣x,
在Rt△APC和Rt△APD中,
∵AC2﹣CP2=AD2﹣DP2,即:122﹣x2=102﹣(10﹣x)2,
解得:x=7.2.
②當∠CPB=90°時,設CP=x,DP=x﹣10,
在Rt△BPD和Rt△BPC中,∵BC2﹣CP2=BD2﹣DP2,即162﹣x2=102﹣(x﹣10)2,
解得:x=12.8.
③當∠APB=90°時,
在Rt△APB中,DP=AB=10,
∴CP=20
綜上所述,CP的長為7.2或12.8或20.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(3,3)、B(4,0)和原點O.P為二次函數(shù)圖象上的一個動點,過點P作x軸的垂線,垂足為D(m,0),并與直線OA交于點C.
(1)求直線OA和二次函數(shù)的解析式;
(2)當點P在直線OA的上方時,
①當PC的長最大時,求點P的坐標;
②當S△PCO=S△CDO時,求點P的坐標.
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【題目】在△ABC中,∠ABC的平分線與在∠ACE的平分線相交于點D.已知∠ABC=70°,∠ACB=30°,求∠A和∠D的度數(shù).
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【題目】感知:如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點P在BC邊上,當∠APD=90°時,可知△ABP∽△PCD.(不要求證明)
探究:如圖②,在四邊形ABCD中,點P在BC邊上,當∠B=∠C=∠APD時,求證:△ABP∽△PCD.
拓展:如圖③,在△ABC中,點P是邊BC的中點,點D、E分別在邊AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,CE=4,則DE的長為 .
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【題目】如圖,某建筑工程隊利用一面墻(墻的長度不限),用40米長的籬笆圍成一個長方形的倉庫.
(1)求長方形的面積是150平方米,求出長方形兩鄰邊的長;
(2)能否圍成面積220平方米的長方形?請說明理由.
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【題目】如圖,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點,M為EF的中點,延長AM交BC于點N,連接DM,下列結論:①AE=AF;②DF=DN;③AE=CN;④△AMD和△DMN的面積相等,其中錯誤的結論個數(shù)是( )
A.3個B.2個C.1個D.0個
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【題目】如圖,在△ABC中,已知點O是邊AB、AC垂直平分線的交點,點E是∠ABC、∠ACB角平分線的交點,若∠O+∠E=180°,則∠A=_____度.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,過點B(6,0)的直線AB與直線OA相交于點A(4,2).
(1)求直線AB的函數(shù)表達式;
(2)若在y軸上存在一點M,使MA+MB的值最小,請求出點M的坐標;
(3)在x軸上是否存在點N,使△AON是等腰三角形?如果存在,直接寫出點N的坐標;如果不存在,說明理由.
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