Question

已知：如圖，矩形ABCD中AB=4，AD=12，點(diǎn)P是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），點(diǎn)Q是直線CD上的一點(diǎn)，且PQ⊥BP，連接BQ，設(shè)AP=x，DQ=y
（1）求證：△ABP∽△DPQ．
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（3）并求出當(dāng)y取何值，△ABP∽△PBQ．
（4）若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，則x的取值范圍

 

．（不必寫出過(guò)程）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形和PQ⊥BP，利用兩組對(duì)應(yīng)角相等即可求證△ABP∽△DPQ．
（2）根據(jù)△ABP∽△DPQ．利用其對(duì)應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），即可求出自變量x的取值范圍．
（3）假設(shè)△ABP∽△PBQ．利用其對(duì)應(yīng)邊成比例，解得x的值，然后將x的值代入y=3x-

x2

4

即可．
（4）根據(jù)Q在DC的延長(zhǎng)線上可知y＞4，即3x-

1

4

x2＞4，解此方程即可得出則x的取值范圍．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，∠PQD+∠QPD=90°，
∵PQ⊥BP，
∴∠DPQ+∠APB=90°
∴∠APB=∠PQD，
∴△ABP∽△DPQ；

（2）∵△ABP∽△DPQ．
∴

AP

DQ

=

AB

PD

，
∵AB=4，AD=12
∴

x

y

=

4

12-x

，即y=3x-

x2

4

．
∵AP與AD不重合，
∴0＜x＜12；
答：y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=3x-

x2

4

；
自變量x的取值范圍是：0＜x＜12；

（3）假設(shè)△ABP∽△PBQ，
則

AP

QP

=

AB

BP

，即

x2

y2+(12-x)

=

16

x2+16

，
將y=3x-

x2

4

代入上式，解得x=6．
將x=6代入y=3x-

x2

4

，解得y=9．
答：當(dāng)y=9時(shí)．△ABP∽△PBQ；

（4）∵Q在DC的延長(zhǎng)線上，
∴y＞4，即3x-

1

4

x2＞4，
解此方程得6-2

5

＜x＜6+2

5

．
故答案為：6-2

5

＜x＜6+2

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合性很強(qiáng)，難度較大，尤其是解此方程

x2

y2+(12-x)

=

16

x2+16

，總之此題是一道難題．