Question

已知：如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，∠DEB的平分線EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AB=BF，連接DF．
（1）若tan∠FDC=

1

2

，AD=1，求DF的長(zhǎng)；
（2）求證：DE=BE+CF．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)tan∠FDC=

1

2

，則

FC

DC

=

1

2

，設(shè)FC=x，DC=2x，利用AB=BF即可得出FC，DC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出即可；
（2）利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形的判定方法得出BE=NE，F(xiàn)C=DN，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）解：∵tan∠FDC=

1

2

，
∴

FC

DC

=

1

2

，設(shè)FC=x，DC=2x，
∵AB=BF，AD=1，
∴2x=1+x，
解得：x=1，
∴FC=1，DC=2，
∴DF的長(zhǎng)為：

FC2+DC2

=

12+22

=

5

；

（2）證明：過(guò)點(diǎn)F作FN⊥DE于點(diǎn)N，
∵∠DEB的平分線EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，F(xiàn)N⊥DE，F(xiàn)B⊥AB，
∴FN=FB（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），
在Rt△FEN和Rt△FEB中

FE=FE FN=FB

，
∴Rt△FEN≌Rt△FEB（HL），
∴NE=BE，
在Rt△FDN和Rt△DFC中

FD=DF FN=FB

，
∴Rt△FDN≌Rt△DFC（HL），
∴FC=DN，
∴DE=NE+DN=BE+CF．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系，作出FN⊥DE進(jìn)而利用全等得出對(duì)應(yīng)邊相等是解題關(guān)鍵．