Question

對(duì)面積為1的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長(zhǎng)AB、BC、CA至點(diǎn)A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，記其面積為S₁；第二次操作，分別延長(zhǎng)A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至點(diǎn)A₂、B₂、C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，順次連接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，記其面積為S₂；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△A_nB_nC_n．
（1）求面積S₁；（2）求面積S_n．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意，求得S_△ABC1=2S_△ABC，同理求得S_△A1B1C1=19S_△ABC，則可求得面積S₁的值；
（2）根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S_n=19ⁿS₀即可求得答案．

解答：解：連BC₁，
∵C₁A=2CA，
∴S_△ABC1=2S_△ABC，
同理：S_△A1BC1=2S_△ABC1=4S_△ABC，
∴S_△A1AC1=6S_△ABC，
同理：S_△A1BB1=S_△CB1C1=6S_△ABC，
∴S_△A1B1C1=19S_△ABC，
即S₁=19S₀，
∵S₀=S_△ABC=1，
∴S₁=19；

（2）同理，S₂=19S₁=19²S₀，S₃=19³S₀，
∴S_n=19ⁿS₀=19ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形面積之間的關(guān)系．注意找到規(guī)律：S_n=19ⁿS₀是解此題的關(guān)鍵．