【題目】如圖,點(diǎn)A(0,8),點(diǎn)B(4,0),連接AB,點(diǎn)M,N分別是OA,AB的中點(diǎn),在射線MN上有一動(dòng)點(diǎn)P.若△ABP是直角三角形,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__.
【答案】(2+2,4)或(12,4).
【解析】
如圖,∠APB=90°,∠ABP=90°,∠BAP=90°均可以使△ABP是直角三角形,故本題應(yīng)該對(duì)這三種情況分別進(jìn)行討論.
(1) ∠APB=90°,如圖①.
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OB,垂足為G.
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0, 8),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4, 0),
∴OA=8,OB=4.
∴在Rt△AOB中, .
∵點(diǎn)M,N分別是OA,AB的中點(diǎn),
∴MN∥OB, , .
∵MN∥OB,PG⊥OB,
∴PG=OM=4.
設(shè)PN=x,則MP=MN+PN=2+x,
∵OG=MP=2+x,
∴BG=OG-OB=2+x-4=x-2.
∵在Rt△AMP中,AP2=AM2+PM2=42+(2+x)2=16+(2+x)2,
在Rt△BGP中,BP2=BG2+PG2=(x-2)2+42=(x-2)2+16,
又∵在Rt△APB中,AB2=AP2+BP2,
∴16+(2+x)2+(x-2)2+16==80.
∴x=,即PN=.
∵OG=2+x=,PG =4.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 4).
(2) ∠ABP=90°,如圖②.
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OB,垂足為G.
設(shè)PN=x,則MP=OG=2+x,BG=x-2.
∵,AM=4,PG=4,
又∵在Rt△AMP中,AP2=16+(2+x)2,
在Rt△BGP中,BP2=(x-2)2+16,
∴在Rt△APB中,AB2=AP2-BP2=16+(2+x)2-[(x-2)2+16]= =80.
∴x=10即PN=10.
∵OG=2+x=2+10=12,PG=4.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12, 4).
(3) ∠BAP=90°,如圖③.
由圖③可以看出,在此種情況下點(diǎn)P不在射線MN上,不符合題意.
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 4)或(12, 4).
故本題應(yīng)填寫(xiě):(, 4)或(12, 4).
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(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)連接OB,求△AOB的面積.
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A.小于6B.等于6C.不大于6D.不小于6
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【題目】如圖,直線y=x上有點(diǎn)A1,A2,A3,…An+1,且OA1=1,A1A2=2,A2A3=4,AnAn+1=2n分別過(guò)點(diǎn)A1,A2,A3,…An+1作直線y=x的垂線,交y軸于點(diǎn)B1,B2,B3,…Bn+1,依次連接A1B2,A2B3,A3B4,…AnBn+1,得到△A1B1B2,△A2B2B3,△A3B3B4,…,△AnBnBn+1,則△AnBnBn+1的面積為________.(用含有正整數(shù)n的式子表示)
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【題目】如圖,直線y=3x與雙曲線y= (k≠0,且x>0)交于點(diǎn)A,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及雙曲線的解析式;
(2)點(diǎn)B是雙曲線上一點(diǎn),且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是1,連接OB,AB,求△AOB的面積.
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【題目】如圖所示,在直角坐標(biāo)系中,第一次將△OAB變換成△OA1B1,第二次將△OA1B1變換成△OA2B2,第三次將△OA2B2變換成△OA3B3,已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0).
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(2)若按第(1)題的規(guī)律將△OAB進(jìn)行了n次變換,得到△OAnBn,比較每次變換中三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)有何變化,找出規(guī)律,請(qǐng)推測(cè)An的坐標(biāo)是_______,Bn的坐標(biāo)是_______.
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