Question

3．已知雙曲線y=$\frac{k}{x}$與直線y=$\frac{1}{4}$x相交于A、B兩點，第一象限上的點M（m，n）（在A點左側）是雙曲線的動點，過點B作BD∥于y軸于點D，過N（-，-n）作NC∥x軸交雙曲線于點E，交BD于點C．若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，則直線CM的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質及點的坐標和解析式的關系解答．

解答 解：設B點坐標為（x₁，-$\frac{n}{2}$），代入y=$\frac{1}{4}$x得，-$\frac{n}{2}$=$\frac{1}{4}$x₁，x₁=-2n；
∴B點坐標為（-2n，-$\frac{n}{2}$）．
因為BD∥y軸，所以C點坐標為（-2n，-n）．
因為四邊形ODCN的面積為2n•n=2n²，三角形ODB，三角形OEN的面積均為$\frac{k}{2}$，四邊形OBCE的面積為4．
則有2n²-k=4---①；
又因為2n•$\frac{n}{2}$=k，即n²=k---②
②代入①得，4=2k-k，解得k=4；則解析式為y=$\frac{4}{x}$；
又因為n²=4，故n=2或n=-2．
M在第一象限，n＞0；
將M（m，2）代入解析式y(tǒng)=$\frac{4}{x}$，得m=2．故M點坐標為（2，2）；C（-4，-2）；
設直線CM解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{-4k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
∴一次函數(shù)解析式為：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$．
故答案為：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$．

點評 此題主要考查了待定系數(shù)法函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點的性質，根據(jù)四邊形OBCE的面積為4得出k的值是解決問題的關鍵．