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【題目】如圖,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,點M為DE的中點,過點E與AD平行的直線交射線AM于點N.

(1)當A,B,C三點在同一直線上時(如圖1),求證:M為AN的中點;
(2)將圖1中的△BCE繞點B旋轉,當A,B,E三點在同一直線上時(如圖2),求證:△ACN為等腰直角三角形;
(3)將圖1中△BCE繞點B旋轉到圖3位置,此時A,B,M三點在同一直線上.(2)中的結論是否仍成立?若成立,試證明之,若不成立,請說明理由.

【答案】
(1)

證明:如圖1,

∵EN∥AD,

∴∠MAD=∠MNE,∠ADM=∠NEM.

∵點M為DE的中點,

∴DM=EM.

在△ADM和△NEM中,

∴△ADM≌△NEM.

∴AM=MN.

∴M為AN的中點;


(2)

證明:如圖2,

∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,

∴AB=AD,CB=CE,∠CBE=∠CEB=45°.

∵AD∥NE,

∴∠DAE+∠NEA=180°.

∵∠DAE=90°,

∴∠NEA=90°.

∴∠NEC=135°.

∵A,B,E三點在同一直線上,

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°.

∴∠ABC=∠NEC.

∵△ADM≌△NEM(已證),

∴AD=NE.

∵AD=AB,

∴AB=NE.

在△ABC和△NEC中,

,

∴△ABC≌△NEC.

∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.

∴∠ACN=∠BCE=90°.

∴△ACN為等腰直角三角形;


(3)

解:△ACN仍為等腰直角三角形.

證明:

∵AD∥NE,M為中點,

∴易得△ADM≌△NEM,

∴AD=NE.

∵AD=AB,

∴AB=NE.

∵AD∥NE,

∴AF⊥NE,

在四邊形BCEF中,

∵∠BCE=∠BFE=90°

∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°

∵∠FBC+∠ABC=180°

∴∠ABC=∠FEC

在△ABC和△NEC中,

,

∴△ABC≌△NEC.

∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.

∴∠ACN=∠BCE=90°.

∴△ACN為等腰直角三角形.


【解析】(1)由EN∥AD和點M為DE的中點可以證得△ADM≌△NEM,從而證得M為AN的中點.(2)易證AB=DA=NE,∠ABC=∠NEC=135°,從而可以證得△ABC≌△NEC,進而可以證得AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.(3)延長AB交NE于點F,易得△ADM≌△NEM,根據四邊形BCEF內角和,可得∠ABC=∠FEC,從而可以證得△ABC≌△NEC,進而可以證得AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.

練習冊系列答案
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①求∠EAF的度數;
②DE與EF相等嗎?請說明理由;
(2)如圖2,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,先將三角板的90°角與∠ACB重合,再將三角板繞點C按順時針方向旋轉(旋轉角大于0°且小于45°),旋轉后三角板的一直角邊與AB交于點D,在三角板另一直角邊上取一點F,使CF=CD,線段AB上取點E,使∠DCE=45°,連接AF,EF,請直接寫出探究結果:
①求∠EAF的度數;
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