【題目】
(1)如圖1,△ABC為等邊三角形,現(xiàn)將三角板中的60°角與∠ACB重合,再將三角板繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于30°),旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D,在三角板斜邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD,線段AB上取點(diǎn)E,使∠DCE=30°,連接AF,EF.

①求∠EAF的度數(shù);
②DE與EF相等嗎?請說明理由;
(2)如圖2,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,先將三角板的90°角與∠ACB重合,再將三角板繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于45°),旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D,在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD,線段AB上取點(diǎn)E,使∠DCE=45°,連接AF,EF,請直接寫出探究結(jié)果:
①求∠EAF的度數(shù);
②線段AE,ED,DB之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】
(1)

解:①∵△ABC是等邊三角形,

∴AC=BC,∠BAC=∠B=60°,

∵∠DCF=60°,

∴∠ACF=∠BCD,

在△ACF和△BCD中, ,

∴△ACF≌△BCD(SAS),

∴∠CAF=∠B=60°,

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;

②DE=EF;理由如下:

∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,

∴∠FCE=60°﹣30°=30°,

∴∠DCE=∠FCE,

在△DCE和△FCE中, ,

∴△DCE≌△FCE(SAS),

∴DE=EF;


(2)

解:①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,

∴AC=BC,∠BAC=∠B=45°,

∵∠DCF=90°,

∴∠ACF=∠BCD,

在△ACF和△BCD中, ,

∴△ACF≌△BCD(SAS),

∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;

②AE2+DB2=DE2,理由如下:

∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,

∴∠FCE=90°﹣45°=45°,

∴∠DCE=∠FCE,

在△DCE和△FCE中, ,

∴△DCE≌△FCE(SAS),

∴DE=EF,

在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2,

又∵AF=DB,

∴AE2+DB2=DE2


【解析】(1)①由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°,求出∠ACF=∠BCD,證明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;②證出∠DCE=∠FCE,由SAS證明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;(2)①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°,證出∠ACF=∠BCD,由SAS證明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;②證出∠DCE=∠FCE,由SAS證明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2 , 即可得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°),還要掌握等邊三角形的性質(zhì)(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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A.130°
B.150°
C.160°
D.170°

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【題目】在下列網(wǎng)格圖中,每個小正方形的邊長均為1個單位.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.

(1)試在圖中做出△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心,沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△AB1C1
(2)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣3,5),試在圖中畫出直角坐標(biāo)系,并標(biāo)出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)根據(jù)(2)的坐標(biāo)系作出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖形△A2B2C2 , 并標(biāo)出B2、C2兩點(diǎn)的坐標(biāo).

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【題目】如圖1,將一圓形紙片向右、向上兩次對折后得到如圖2所示的扇形AOB.已知OA=6,取OA的中點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD⊥OA交 于點(diǎn)D,點(diǎn)F是 上一點(diǎn).若將扇形BOD沿OD翻折,點(diǎn)B恰好與點(diǎn)F重合,用剪刀沿著線段BD,DF,F(xiàn)A依次剪下,則剪下的紙片(形狀同陰影圖形)面積之和為

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【題目】下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式(x24x+2)(x24x+6+4進(jìn)行因式分解的過程.

解:設(shè)x24x=y

原式=y+2)(y+6+4 (第一步)

=y2+8y+16 (第二步)

=y+42(第三步)

=x24x+42(第四步)

回答下列問題:

1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的_______

A.提取公因式

B.平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D.兩數(shù)差的完全平方公式

2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?________.(填徹底不徹底)若不徹底,請直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________

3)請你模仿以上方法嘗試對多項(xiàng)式(x22x)(x22x+2+1進(jìn)行因式分解.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),△ABO的邊AB垂直于x軸,垂足為點(diǎn)B,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C,且與AB相交于 點(diǎn)D,OB=4,AD=3

(1)求反比例函數(shù)y= 的解析式;
(2)若直線y=﹣x+m與反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象相交于兩個不同點(diǎn)E、F(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),與y軸相交于點(diǎn)M ①則m的取值范圍為(請直接寫出結(jié)果)
②求MEMF的值

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(1)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一直線上時(如圖1),求證:M為AN的中點(diǎn);
(2)將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同一直線上時(如圖2),求證:△ACN為等腰直角三角形;
(3)將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置,此時A,B,M三點(diǎn)在同一直線上.(2)中的結(jié)論是否仍成立?若成立,試證明之,若不成立,請說明理由.

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