探究一:如圖1,已知正方形ABCD,E、F分別是BC、AB上的兩點(diǎn),且AE⊥DF.小明經(jīng)探究,發(fā)現(xiàn)AE=DF.請(qǐng)你幫他寫出證明過(guò)程.
探究二:如圖2,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E、G分別在邊BC、AD上,F、H分別在邊AB、CD上,且GE⊥FH.小明發(fā)現(xiàn),GE與FH并不相等,請(qǐng)你幫他求出的值.
探究三:小明思考這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖3,在正方形ABCD中,若E、G分別在邊BC、AD上,F、H分別在邊AB、CD上,且GE=FH,試問(wèn):GE⊥FH是否成立?若一定成立,請(qǐng)給予證明;若不一定成立,請(qǐng)畫圖并作出說(shuō)明.
(1)證明見解析;
(2);
(3)不一定成立,圖形見解析.
【解析】
試題分析:(1)證明AE=DF,只要證明三角形ABE和DAF全等即可.它們同有一個(gè)直角,且AB=AD,又因?yàn)?/span>∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD,這樣就構(gòu)成了全等三角形判定中的AAS,兩三角形就全等了;
(2)作GM⊥BC于M,FN⊥CD于N,再由GE⊥FH,可得△GME∽△FNH,根據(jù)相似性質(zhì)即可;
(3)不一定成立.
試題解析:(1)∵DF⊥AE,
∴∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD,
又∵AB=AD,∠ABE=∠DAF=90°,
∴△ABE≌△DAF,
∴AE=DF;
(2)作GM⊥BC于M,FN⊥CD于N,
∵GE⊥FH
∴∠MGE=∠NFH,
∴△GME∽△FNH.
∴.
∵AB=GM=3,FN=BC=4,
∴;
(3)不一定成立,如圖:
當(dāng)GE=FH時(shí),GE和FH位置不確定,只有GE=FH=AD時(shí),GE⊥FH.
考點(diǎn):1.正方形的性質(zhì),2.三角形相似.
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b | 2a |
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