Question

（2013•河東區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+8（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-2，0），B，與y軸交于點C，tan∠ABC=2．
（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；
（2）設直線CD交x軸于點E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得經過點P的直線PM垂直于直線CD，且與直線OP的夾角為75°？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線最多可以向上平移多少個單位長度？

Answer 1

分析：（1）易知點C的坐標，那么在Rt△BOC中，根據(jù)tan∠ABC的值即可得到點B的坐標．然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，通過對解析式進行配方能得到頂點D的坐標；
（2）首先確定直線CD的解析式以及點E的坐標，易得出△EOC是等腰直角三角形的結論，那么在四邊形ENPM（以解答圖為參考）中，根據(jù)四邊形內角和可以求出∠OPN的度數(shù)，那么PN的長就可以在Rt△OPN中求出，以此求得點P的坐標；
（3）若拋物線向上平移，首先表示出平移后的函數(shù)解析式；當x=-8時（與點E橫坐標相同），求出新函數(shù)的函數(shù)值，若拋物線與線段EF有公共點，那么該函數(shù)值應不大于點E的縱坐標．當x=4時（與點F的橫坐標相同），方法同上，結合上述兩種情況，即可得到函數(shù)圖象的最大平移單位．

解答：解：（1）由拋物線的解析式知，點C（0，8），即 OC=8；
Rt△OBC中，OB=OC•tan∠ABC=8×

1

2

=4，則 點B（4，0）．
將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，得：

4a-2b+8=0 16a+4b+8=0

，解得

a=-1 b=2

，
∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，頂點D（1，9）；

（2）設直線CD的解析式為：y=kx+8，
將點D坐標代入上式，得：k=1；
∴直線CD：y=x+8，點E（-8，0）．
∴OC=OE=8，∠CEB=45°．
在四邊形EMPN中（如右圖），∠MPN=180°-∠CEB=135°（∠PME、∠PNO都是直角），
①當∠OPM=75°時，∠OPN=135°-75°=60°；
在Rt△OPN中，ON=

1

2

OB=2，PN=

2 3

3

；
②當∠OPQ=75°時，∠OPN=135°+75°-180°=30°，
在Rt△OPN中，ON=

1

2

OB=2，PN=2

3

；



綜上，存在符合條件的P點，且坐標為 （2，

2 3

3

）或（2，2

3

）；

（3）由（2）的直線CD解析式，可得：E（-8，0），F(xiàn)（4，12）．
設拋物線向上平移m個單位長度（m＞0），則拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+9+m；
當x=-8時，y=m-72，
當x=4時，y=m，
∴m-72≤0 或 m≤12，
∴0＜m≤72，
∴拋物線最多向上平移72個單位．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、四邊形的內角和、解直角三角形等綜合知識．最后一個小題要結合圖形來進行解答，若題目沒有明確“向上平移”，該題就需要進行分類討論，要注意解題方法的總結和拓展．