【題目】有兩張完全重合的矩形紙片,將其中一張繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF(如圖1),連接BD,MF,若BD=4cm,∠ADB=30°.
(1)試探究線段BD與線段MF的數(shù)量關系和位置關系,并說明理由;
(2)把△BCD與△MEF剪去,將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,邊AD1交FM于點K(如圖2),設旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<90°),當△AFK為等腰三角形時,求β的度數(shù).
(3)若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如圖3),F2M2與AD交于點P,A2M2與BD交于點N,當NP∥AB時,求平移的距離.
【答案】(1)BD=MF,BD⊥MF;(2)β的度數(shù)為60°或15°;(3)平移的距離是(3﹣)cm.
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BD=MF,△BAD≌△MAF,推出BD=MF,∠ADB=∠AFM=30°,進而可得∠DNM的大。
(2)分兩種情形討論①當AK=FK時,②當AF=FK時,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結論.
(3)求平移的距離是A2A的長度.在矩形PNA2A中,A2A=PN,只要求出PN的長度就行.用△DPN∽△DAB得出對應線段成比例,即可得到A2A的大。
(1)結論:BD=MF,BD⊥MF.理由:
如圖1,延長FM交BD于點N.
由題意得:△BAD≌△MAF,∴BD=MF,∠ADB=∠AFM.
又∵∠DMN=∠AMF,∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°,∴∠DNM=90°,∴BD⊥MF.
(2)如圖2.
①當AK=FK時,∠KAF=∠F=30°,則∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°,即β=60°;
②當AF=FK時,∠FAK(180°﹣∠F)=75°,∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°,即β=15°;
綜上所述:β的度數(shù)為60°或15°;
(3)如圖3.
由題意得矩形PNA2A.設A2A=x,則PN=x.在Rt△A2M2F2中,∵F2M2=FM=4,∠F=∠ADB=30°,∴A2M2=2,A2F2=2,∴AF2=2x.
∵∠PAF2=90°,∠PF2A=30°,∴AP=AF2tan30°=2x,∴PD=AD﹣AP=22x.
∵NP∥AB,∴∠DNP=∠B.
∵∠D=∠D,∴△DPN∽△DAB,∴,∴,解得:x=,即A2A=,∴平移的距離是()cm.
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【題目】如圖,Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB,BC,AC分別切于點D,E,F,且AC=13,AB=12,∠ABC=90°,求⊙O的半徑長.
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【題目】如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點,,點在以為圓心,為半徑的⊙上,是的中點,若長的最大值為,則的值為__________.
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【題目】已知:如圖所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動,當其中一點達到終點后,另外一點也隨之停止運動.
(1)如果P,Q分別從A,B同時出發(fā),那么幾秒后,△PBQ的面積等于4cm2?
(2)如果P,Q分別從A,B同時出發(fā),那么幾秒后,PQ的長度等于5cm?
(3)在(1)中,當P、Q出發(fā)幾秒時,△PBQ的面積最大,最大面積是多少?
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣x+m的圖象經(jīng)過點A(1,﹣2)
(1)求此函數(shù)圖像與坐標軸的交點坐標;
(2)若P(-2,y1),Q(5,y2)兩點在此函數(shù)圖像上,試比較y1,y2的大小
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【題目】如圖,方格中的每個小方格都是邊長為1的正方形,我們把以格點間的連線為邊的三角形稱為“格點三角形”,圖中的△ABC是格點三角形.在建立平面直角坐標系后,點B的坐標為(-1,-1).
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1,畫出△A1B1C1的圖形并寫出點B1的坐標;
(2)把△ABC繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)90°后得△A2B2C2,畫出△A2B2C2的圖形并寫出B2的坐標;
(3)把△ABC以點A為位似中心放大,使放大前后對應邊的比為1∶2,畫出△AB3C3的圖形.
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【題目】某網(wǎng)店銷售一款工藝品,每件的成本是50元,據(jù)市場調(diào)查,銷售單價是100元時,每天的銷售量是50件,而銷售單價每降低1元,每天就可多售出5件,但要求銷售單價不得低于成本.設銷售單價x元.
(1)用含x的代數(shù)式表示現(xiàn)在的銷售數(shù)量為_________件;
(2)當x為多少元時,網(wǎng)店既能讓利顧客,又能每天獲得銷售利潤4000元?
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【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm,一動點P從點C出發(fā)沿著CB方向以2cm/s的速度運動,另一動點Q從A出發(fā)沿著AC邊以4cm/s的速度運動,P、Q兩點同時出發(fā),運動時間為t(s).
(1)若△PCQ的面積是△ABC面積的,求t的值?
(2)△PCQ的面積能否與四邊形ABPQ面積相等?若能,求出t的值;若不能,說明理由.
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