【題目】如圖①,C為線段BE上的一點,分別以BC和CE為邊在BE的同側作正方形ABCD和正方形CEFG,M、N分別是線段AF和GD的中點,連接MN
(1)線段MN和GD的數(shù)量關系是 ,位置關系是 ;
(2)將圖①中的正方形CEFG繞點C逆時針旋轉90°,其他條件不變,如圖②,(1)的結論是否成立?說明理由;
(3)已知BC=7,CE=3,將圖①中的正方形CEFG繞點C旋轉一周,其他條件不變,直接寫出MN的最大值和最小值.
【答案】(1) MN=DG;MN⊥DG;(2)成立,理由見解析;(3)5,2.
【解析】
試題分析:(1)連接FN并延長,與AD交于點S,如圖①.易證明△SDN≌△FGN,則有DS=GF,SN=FN.然后運用三角形中位線定理即可解決問題;
(2)過點M作MT⊥DC于T,過點M作MR⊥BC于R,連接FC、MD、MG,如圖②,根據(jù)平行線分線段成比例即可得BR=GR=BG,DT=ET=DE,根據(jù)梯形中位線定理可得MR=(FG+AB),MT=(EF+AD),從而可得MR=MT,RG=TD,由此可得△MRG≌△MTD,則有MG=MD,∠RMG=∠TMD,則有∠RMT=∠GMD,進而可證得△DMG是直角三角形,然后根據(jù)等腰三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可解決問題;
(3)連接GM到點P,使得PM=GM,延長GF、AD交于點Q,連接AP,DP,DM如圖③,易證△APD≌△CGD,則有PD=DG,根據(jù)等腰三角形的性質可得DM⊥PG,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MN=DG,要求MN的最大值和最小值,只需求DG的最大值和最小值,由GC=CE=3可知點G在以點C為圓心,3為半徑的圓上,再由DC=BC=7,就可求出DG的最大值和最小值.
試題解析:(1)連接FN并延長,與AD交于點S,如圖①.
∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形,
∴∠D=90°,AD=DC,GC=GF,AD∥BE∥GF,
∴∠DSN=∠GFN.
在△SDN和△FGN中,
,
∴△SDN≌△FGN,
∴DS=GF,SN=FN.
∵AM=FM,
∴MN∥AS,MN=AS,
∴∠MNG=∠D=90°,
MN=(AD-DS)=(DC-GF)=(DC-GC)=DG.
(2)(1)的結論仍然成立.
理由:過點M作MT⊥DC于T,過點M作MR⊥BC于R,連接FC、MD、MG,如圖②,
則A、F、C共線,MR∥FG∥AB,MT∥EF∥AD.
∵AM=FM,
∴BR=GR=BG,DT=ET=DE,
∴MR=(FG+AB),MT=(EF+AD).
∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形,
∴FG=GC=EC=EF,AB=BC=DC=AD,
∴MR=MT,RG=TD.
在△MRG和△MTD中,
,
∴△MRG≌△MTD,
∴MG=MD,∠RMG=∠TMD,
∴∠RMT=∠GMD.
∵∠MRC=∠RCT=∠MTC=90°,
∴四邊形MRCT是矩形,
∴∠RMT=90°,
∴∠GMD=90°.
∵MG=MD,∠GMD=90°,DN=GN,
∴MN⊥DG,MN=DG.
(3)連接GM到點P,使得PM=GM,延長GF、AD交于點Q,連接AP,DP,DM如圖③,
在△AMP和△FMG中,
,
∴△AMP≌△FMG,
∴AP=FG,∠APM=∠FGM,
∴AP∥GF,
∴∠PAQ=∠Q,
∵∠DOG=∠ODQ+∠Q=∠OGC+∠GCO,
∠ODQ=∠OGC=90°,
∴∠Q=∠GCO,
∴∠PAQ=∠GCO.
∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形,
∴DA=DC,GF=GC,
∴AP=CG.
在△APD和△CGD中,
,
∴△APD≌△CGD,
∴PD=DG.
∵PM=GM,
∴DM⊥PG.
∵DN=GN,
∴MN=DG.
∵GC=CE=3,
∴點G在以點C為圓心,3為半徑的圓上,
∵DC=BC=7,
∴DG的最大值為7+3=10,最小值為7-3=4,
∴MN的最大值為5,最小值為2.
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【題目】把多項式(x-2)2-4x+8分解因式,哪一步開始出現(xiàn)了錯誤( )
解:原式=(x-2)2-(4x-8)…A
=(x-2)2-4(x-2)…B
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=(x-2)(x+2)…D
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【題目】甲、乙、丙三組各有7名成員,測得三組成員體重數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是58,方差分別為s甲2=36,s乙2=25.4,s丙2=16.則數(shù)據(jù)波動最小的一組是____.
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【題目】分別以ABCD(∠CDA≠90°)的三邊AB,CD,DA為斜邊作等腰直角三角形,△ABE,△CDG,△ADF.
(1)如圖1,當三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時,連接GF,EF.請判斷GF與EF的關系(只寫結論,不需證明);
(2)如圖2,當三個等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時,連接GF,EF,(1)中結論還成立嗎?若成立,給出證明;若不成立,說明理由.
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【題目】如圖,直線l:y = x,過點A(0,1)作y軸的垂線交直線于點B,過點B作直線l的垂線交y軸于點A1;過點A1作y軸的垂線交直線l于點B1,過點B1作直線l的垂線交y軸于點A2;…按此作法繼續(xù)下去,則點A2015的坐標為( )
A. (0,42015) B. (0,42014) C. (0,32015) D. (0,32014)
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【題目】如圖已知△ABE≌△ACD, AB=AC, BE=CD,∠B=40°,∠AEC=120°則∠DAC的度數(shù)為 ( )
A.80°
B.70°
C.60°
D.50°
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