Question

【題目】如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標(biāo)軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線(xiàn)x=1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)過(guò)A，B，C三點(diǎn)．

（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；

（2）已知直線(xiàn)的解析式為y=x+m，它與x軸交于點(diǎn)G，在梯形ABCO的一邊上取點(diǎn)P．

①當(dāng)m=0時(shí)，如圖1，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與BC的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥直線(xiàn)于點(diǎn)H，連結(jié)OP，試求△OPH的面積；

②當(dāng)m=﹣3時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)．是否在線(xiàn)段BC存在這樣的點(diǎn)P，使以P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為：（7﹣4，4）

【解析】

試題（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；（2）①如答圖1，作輔助線(xiàn)，利用關(guān)系式S△OPH=S△OMH-S△OMP求解；②本問(wèn)涉及復(fù)雜的分類(lèi)討論，如答圖2所示．由于點(diǎn)P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三種情形，故討論與計(jì)算的過(guò)程比較復(fù)雜，需要耐心細(xì)致、考慮全面．

試題解析：（1）由題意得：A（4，0），C（0，4），對(duì)稱(chēng)軸為x=1．

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+bx+c，則有：

， 解得 ．

∴拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為：

（2）①當(dāng)m=0時(shí)，直線(xiàn)：y=x．

∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x=1，

∴CP=1．

如答圖1，延長(zhǎng)HP交y軸于點(diǎn)M，則△OMH、△CMP均為等腰直角三角形．

∴CM=CP=1，

∴OM=OC+CM=5．

S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=（OM）2﹣OMCP=×（×5）2﹣×5×1=﹣=，

∴S△OPH=．

②當(dāng)m=﹣3時(shí)，直線(xiàn)l：y=x﹣3．

設(shè)直線(xiàn)與x軸、y軸交于點(diǎn)G、點(diǎn)D，則G（3，0），D（0，﹣3）．

假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P．如答圖2所示，此時(shí)PE=4．

若PE=PF，則點(diǎn)P為∠OGD的角平分線(xiàn)與BC的交點(diǎn)，有GE=GF，過(guò)點(diǎn)F分別作FH⊥PE于點(diǎn)H，F(xiàn)K⊥x軸于點(diǎn)K，

∵∠OGD=135°，

∴∠EPF=45°，即△PHF為等腰直角三角形，

設(shè)GE=GF=t，則GK=FK=EH=t，

∴PH=HF=EK=EG+GK=t+t，

∴PE=PH+EH=t+t+t=4，

解得t=4﹣4，則OE=3﹣t=7﹣4，

∴P2（7﹣4，4）

另外，PE=EF,EF=PF不可能．

綜上所述，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為：（7﹣4，4）．

綜上所述，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為：（7﹣4，4）