【題目】已知,如圖拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè).點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4,0),B的坐標(biāo)為(1,0),且OC=4OB.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),求三角形ACD面積的最大值;
(3)若點(diǎn)E在x軸上,點(diǎn)P在拋物線上.是否存在以A,C,E,P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形?若存在,直接寫出P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=x2+3x﹣4;(2)三角形ACD面積的最大值=8;(3)存在3個(gè)點(diǎn)符合題意,坐標(biāo)分別是P1(﹣3,﹣4),P2(,4)和P3(,4).
【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),OC=4OB可得出C點(diǎn)坐標(biāo),再把A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求出a,b,c的值即可;
(2)過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M,N,利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,故可得出DM=(x+2)2+4,即可得出結(jié)論;
(3)①過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1,過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1,此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形,根據(jù)PC兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等可得出P點(diǎn)坐標(biāo);②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E,交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)AC=PE時(shí),四邊形ACEP為平行四邊形,令P(x,4),由x2+3x4=4得出x的值即可得出P點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)∵OC=4OB,B(1,0),
∴C(0,﹣4),
把點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c,得
解得:,
∴拋物線線的解析式為:y=x2+3x﹣4;
(2)如圖1,過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M,N.
∵A(﹣4,0),B的坐標(biāo)為(1,0),
∴AB=5,
∴S△ACD=DM×(AN+ON)=DMOA=2DM,
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0),
∵A(﹣4,0),C(0,﹣4),
∴,解得,
故直線AC的解析式為:y=﹣x﹣4.
令D(x,x2+3x﹣4),M(x,﹣x﹣4),則DM=﹣x﹣4﹣(x2+3x﹣4)=﹣(x+2)2+4,
當(dāng)x=﹣2時(shí),DM有最大值4,
故三角形ACD面積的最大值=×4×4=8;
(3)①如圖2,過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1,過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1,此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形.
∵C(0,﹣4),令x2+3x﹣4=﹣4,
∴x=0或x=﹣3.
∴P1(﹣3,﹣4).
②如圖3,平移直線AC交x軸于點(diǎn)E,交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)AC=PE時(shí),四邊形ACEP為平行四邊形,
∵C(0,﹣4),
∴可令P(x,4),由x2+3x﹣4=4,得x2+3x﹣8=0.
解得x=或x=.
此時(shí)存在點(diǎn)P2(,4)和P3(,4).
綜上所述,存在3個(gè)點(diǎn)符合題意,坐標(biāo)分別是P1(﹣3,﹣4),P2(,4)和P3(,4).
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(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若,求點(diǎn)的坐標(biāo);
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【題目】已知二次函數(shù)y=-(a+b)x2-2cx+a-b,a、b、c是△ABC的三邊
(1) 當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),判斷△ABC是什么形狀
(2) 當(dāng)時(shí),該函數(shù)有最大值,判斷△ABC是什么形狀
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)平移△ABC,若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(0,﹣4),畫出平移后對(duì)應(yīng)的△A1B1C1,并寫出B1,C1的坐標(biāo);
(2)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△A2B2C2,并寫出B2,C2的坐標(biāo).
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【題目】如圖7,已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是32cm,AB︰BC=5︰3,AE⊥BC,垂足為E,AF⊥CD,垂足為F,∠EAF=2∠C.
(1)求∠C的度數(shù);
(2)已知DF的長(zhǎng)是關(guān)于的方程--6=0的一個(gè)根,求該方程的另一個(gè)根.
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【題目】某市某幼兒園六一期間舉行親子游戲,主持人請(qǐng)三位家長(zhǎng)分別帶自己的孩子參加游戲,主持人準(zhǔn)備把家長(zhǎng)和孩子重新組合完成游戲,A、B、C分別表示三位家長(zhǎng),他們的孩子分別對(duì)應(yīng)的是a、b、c.
(1)若主持人分別從三位家長(zhǎng)和三位孩子中各選一人參加游戲,恰好是A、a的概率是多少(直接寫出答案)
(2)若主持人先從三位家長(zhǎng)中任選兩人為一組,再?gòu)暮⒆又腥芜x兩人為一組,四人共同參加游戲,恰好是兩對(duì)家庭成員的概率是多少.(畫出樹狀圖或列表)
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【題目】拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)與直線y=kx+c(k≠0)相交于A(﹣1,0)、B(2,﹣3)兩點(diǎn),且拋物線與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)
(3)在第四象限拋物線上有一點(diǎn)P,若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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