【題目】如圖,正方形ABCD中,OBD中點(diǎn),以BC為邊向正方形內(nèi)作等邊BCE,連接AE并延長(zhǎng)交CDF,連接BD分別交CE、AFGH,下列結(jié)論:①;②;③;④;⑤,其中正確的是__________

【答案】①③⑤

【解析】

根據(jù)正方形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)可先求出∠BAE=BEA=CED=CDE=75°,進(jìn)而可得出∠DEF=30°,從而可得出∠CEH=45°;

②作BMCGMDNCGN,由,可以得出,就有BG=

③先利用AAS證明△DEF≌△EDG,就可以得出DF=EG,就可以得出CG=CF,得出∠CGF=75°,由∠CED=75°,就可以得出GFED;

④由圖可知2OH+HD=2OD=BD,所以2OH+DH=BD錯(cuò)誤;

⑤由SBECSBGC=,由GE=DF=tan15°AD.設(shè)AD=CD=BC=AB=x,就有DF=EG=2-x,GC=x-2-x=-1x,就有.綜上可得出結(jié)論.

解:①∵四邊形ABCD是正方形,

AB=BC=CD=AD,∠ABC=BCD=CDA=DAB=90°,∠ADB=CDB=45°.

∵△BEC是等邊三角形,∴BC=BE=CE,∠EBC=BCE=BEC=60°,

AB=BE=CE=CD,∠ABE=DCE=90°-60°=30°,

∴∠BAE=BEA=CED=CDE=×(180°-30°)=75°,

∴∠EAD=EDA=15°,

∴∠DEF=30°,

∴∠CEH=45°.

故①正確;
②作BMCGMDNCGN,

∴∠BMC=DNC=90°,

BM=sin60°BC,DN=sin30°CD

,

BG=DG.

故②錯(cuò)誤;

③∵∠EDC=75°,∠BDC=45°,

∴∠EDB=30°,

∴∠DEF=EDG=30°,

∴∠EGD=75°.

∵∠ADC=90°,∠DAF=15°,

∴∠EFD=75°,

∴∠EFD=EGD

在△DEF和△EDG中,,

∴△DEF≌△EDGAAS),

DF=EG

EC=DC,

EC-EG=DC-DF

CG=CF,

∴∠CGF=CFG=75°,

∴∠CED=CGF

GFED

故③正確;

④由圖可知2OH+HD=2OD=BD,所以2OH+DH=BD不正確.故④錯(cuò)誤;

⑤在RtADF中,∠DAF=15°,

DF=tan15°AD=GE,設(shè)AD=CD=BC=AB=x,

CE=x,∴CG=x-GE

又如補(bǔ)充圖中,在RtADF中,∠A=15°,在AD上取一點(diǎn)T,使得AT=TF,

∴∠DTF=30°,設(shè)DF=a,則TF=TA=2aTD=a,可得tan15°=

GE=DF=2-x

CG=x-2-x=-1x

SBECSBGC==

故⑤正確.

故正確的結(jié)論有:①③⑤.
故答案為:①③⑤.

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