Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+3x+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，過點(diǎn)P向x軸作垂線交直線BC于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的最大值；

（3）在x軸上是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？如果存在，直接寫出E點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2)m＝﹣t2+4t（0＜t＜4），m的最大值為4；(3)存在，E（﹣4，0）或（0，0）或（4﹣4，0）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）將x=0代入拋物線解析式中可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，即可找出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，由此即可用含t的代數(shù)式表示出PQ的長度，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

（3）①由CO⊥x軸、QD⊥x軸、∠QBD=∠CBO，即可得出△BQD∽△BCO，即存在點(diǎn)E（0，0）使得△BQD∽△BCE；②過點(diǎn)C作EC⊥BC交x軸于點(diǎn)E，由EC⊥BC、QD⊥x軸、∠QBD=∠CBO，即可得出△BQD∽△BEC，再根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)即可得出∠CBO=45°，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

(1)∵拋物線y＝ax2+3x+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，解得：a＝﹣1，c＝4，

故：拋物線y＝﹣x2+3x+4；

(2)∵將x＝0代入拋物線的解析式得：y＝4，∴C（0，4），

把將B（4，0），C（0，4）代入拋物線方程，

解得：直線BC的解析式為：y＝﹣x+4．

過點(diǎn)P作x的垂線PQ，如圖所示：

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴P（t，﹣t2+3t+4），Q（t，﹣t+4）．

∴PQ＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t．

∴m＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4（0＜t＜4）．

∴當(dāng)t＝2時(shí)，m的最大值為4；

(3)存在．如圖所示：

當(dāng)EC＝BE時(shí)，E在原點(diǎn)O，此時(shí)點(diǎn)E（0，0），

當(dāng)BC＝CE時(shí)，E在點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)E（﹣4，0），

當(dāng)BC＝BE時(shí)，BE＝4，此時(shí)E（4﹣4，0）

即：E（﹣4.0）或（0，0）或（4﹣4，0）．