【題目】如圖,矩形ABCD中,O是AC與BD的交點,過O點的直線EF與AB,CD的延長線分別交于E,F(xiàn).
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)當(dāng)EF與AC滿足什么關(guān)系時,以A,E,C,F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形?證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴OB=OD(矩形的對角線互相平分),
AE∥CF(矩形的對邊平行).
∴∠E=∠F,∠OBE=∠ODF.
∴△BOE≌△DOF(AAS)
(2)解:當(dāng)EF⊥AC時,四邊形AECF是菱形.
證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴OA=OC(矩形的對角線互相平分).
又∵由(1)△BOE≌△DOF得,OE=OF,
∴四邊形AECF是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)
又∵EF⊥AC,
∴四邊形AECF是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)
【解析】(1)由矩形的性質(zhì):OB=OD,AE∥CF證得△BOE≌△DOF;(2)若四邊形EBFD是菱形,則對角線互相垂直,因而可添加條件:EF⊥AC, 當(dāng)EF⊥AC時,∠EOA=∠FOC=90°,
∵AE∥FC,
∴∠EAO=∠FCO,矩形對角線的交點為O,
∴OA=OC,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF,根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.
∴四邊形EBFD是菱形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市某校準(zhǔn)備組織教師、學(xué)生、家長到曲阜進行參觀學(xué)習(xí)活動,旅行社代辦購買動車票,動車票價格如下表所示:
運行區(qū)間 | 大人票價 | 學(xué)生票價 | ||
出發(fā)站 | 終點站 | 一等座 | 二等座 | 二等座 |
濟南 | 曲阜 | 65(元) | 54(元) | 40(元) |
根據(jù)報名總?cè)藬?shù),若所有人員都買一等座的動車票,則共需13 650元;若都買二等座的動車票(學(xué)生全部按表中的“學(xué)生票二等座”購買),則共需8 820元.已知家長的人數(shù)是教師的人數(shù)的2倍.
(1)請求出參加活動的教師和學(xué)生各有多少人?
(2)如果二等座動車票共買到m張,且學(xué)生全部按表中的“學(xué)生票二等座”購買,其余的買一等座動車票,且買票的總費用不低于9 000元,求m的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各小題中,都有OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.
(1)如圖①,若點A、O、B在一條直線上,∠EOF= ;
(2)如圖②,若點A、O、B不在一條直線上,∠AOB=140°,則∠EOF= ;
(3)由以上兩個問題發(fā)現(xiàn):當(dāng)∠AOC在∠BOC的外部時,∠EOF與∠AOB的數(shù)量關(guān)系是∠EOF= ;
(4)如圖③,若OA在∠BOC的內(nèi)部,∠AOB和∠EOF還存在上述的數(shù)量關(guān)系嗎?請簡單說明理由;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了順利通過“國家文明城市”驗收,市政府?dāng)M對部分路段的人行道地磚、綠化帶、排水管等公用設(shè)施全面更新改造,根據(jù)市政建設(shè)的需要,需在40天內(nèi)完成工程.現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊有意承包這項工程,經(jīng)調(diào)查知道,乙工程隊單獨完成此項工程的時間是甲工程隊單獨完成此項工程時間的2倍,若甲、乙兩工程隊合作只需10天完成.
(1)甲、乙兩個工程隊單獨完成此項工程各需多少天?
(2)若甲工程隊每天的費用是4.5萬元,乙工程隊每天的工程費用是2.5萬元,請你設(shè)計一種方案,既能按時完成工程,又能使工程費用最少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知y與x+3成正比例,且當(dāng)x=1時,y=8
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若點(a,6)在這個函數(shù)的圖象上,求a的值.
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【題目】下列運動屬于平移的是( )
A.蕩秋千
B.地球繞著太陽轉(zhuǎn)
C.風(fēng)箏在空中隨風(fēng)飄動
D.急剎車時,汽車在地面上的滑動
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,點M、N在直線BD上,點M在N點左側(cè),AM∥CN.
(1)如圖1,求證:BM=DN;
(2)如圖2,當(dāng)∠ABC=90°,點M,N在線段BD上時,求證:BM+BN= AB;
(3)如圖3,當(dāng)∠ABC=60°,點M在線段DB的延長線上時,直接寫出BM,BN,AB三者的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線,CA=CB.E、F分別是直線CD上兩點,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部,且E,F(xiàn)在射線CD上.
①如圖1,若∠BCA=90°,∠α=90°,則BE CF;
②如圖2,若0°<∠BCA<180°,請?zhí)砑右粋關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件 ,使①中的結(jié)論仍然成立,并說明理由;
(2)如圖3,若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部,∠α=∠BCA,請?zhí)岢鲫P(guān)于EF,BE,AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是一個正六棱柱,它的底面邊長是3cm,高是6cm.
(1)這個棱柱的側(cè)面積是多少?
(2)這個棱柱共有多少條棱?所有的棱長的和是多少?
(3)這個棱柱共有多少個頂點?
(4)通過觀察,試用含n的式子表示n棱柱的面數(shù)與棱的條數(shù).
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