Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點D是半圓O上一點，點C是 的中點，CE⊥AB于點E，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CE、CB于點P、Q，連接AC．

（1）求證：GP＝GD；

（2）求證：P是線段AQ的中點；

（3）連接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半徑和CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）半徑為；CE=；

【解析】

（1）結(jié)合切線的性質(zhì)以及已知得出∠GPD=∠GDP，進而得出答案；

（2）利用圓周角定理得出PA，PC，PQ的數(shù)量關(guān)系進而得出答案；

（3）直接利用勾股定理結(jié)合三角形面積進而得出答案．

（1）證明：連接OD，則OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，

∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°，

∴∠GPD=∠GDP；

∴GP=GD；

（2）證明：∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CE⊥AB于E，

∴∠CEB=90°，

∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°，

∴∠ACE=∠ABC=∠CAP，

∴PC=PA，

∵∠ACB=90°，

∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°，

∴∠PCQ=∠CQA，

∴PC=PQ，

∴PA=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點；

（3）連接CD，

∵弧AC=弧CD，

∴CD=AC，

∵CD=2，

∴AC=2，

∵∠ACB=90°，

∴AB==，

故⊙O的半徑為，

∵CE×AB=AC×BC，

∴CE=2×4，

∴CE=．