如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx（a＞0）的圖象與反比例函數(shù) $數(shù)學公式$ 圖象相交于點A，B，已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）．
①求實數(shù)k的值；
②求二次函數(shù)y=ax²+bx（a＞0）的解析式；
③設拋物線與x軸的另一個交點為D，E點為線段OD上的動點（與O，D不能重合），過E點作EF∥OB交BD于F，連接BE，設OE的長為m，△BEF的面積為S，求S于m的函數(shù)關系式；
④在③的基礎上，試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時E點的坐標；若不存在，說明理由．

解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4，
答：實數(shù)k的值是4．

②過B作BM⊥x軸于M，BN⊥y軸于N，過A作AH⊥x軸于H，兩線BN和AH交于Q，

設OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，
則：S=S_△ABQ-S_△AOH-S_△BNO-S_矩形ONQH，
即：3= $\text{[math]}$ （1+c）（4+d）- $\text{[math]}$ ×1×4- $\text{[math]}$ cd-d×1，
cd=k=4，
解得：c=2，d=2，
∴B（-2，-2），
把A（1，4）和B（-2，-2）代入拋物線得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴y=x²+3x，
答：二次函數(shù)y=ax²+bx（a＞0）的解析式是y=x²+3x．
⑨把y=0代入y=x²+3x得：x²+3x=0，
解得：x₁=0，x₂=-3，
∴D（-3，0），
即OD=3，
∵B（-2，-2），
∴由勾股定理得：OB=2 $\text{[math]}$ ，
∵EF∥OB，
∴△DFE∽△DBO，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EF=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ m，
過F作FC⊥x軸于C，
根據(jù)相似三角形的對應高之比等于相似比得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
FC= $\text{[math]}$

S=S_△EDB-S_△EDF
= $\text{[math]}$ DE×BM- $\text{[math]}$ FC×DE，
即S=- $\text{[math]}$ m²+m，
∴S與m的函數(shù)關系S=- $\text{[math]}$ m²+m．

④S=- $\text{[math]}$ m²+m．
當m= $\text{[math]}$ 時，S最大，是 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
答：在③的基礎上，S存在最大值，S的最大值是 $\text{[math]}$ ，此時E點的坐標是（- $\text{[math]}$ ，0）．
分析：①把A（1，4）代入即可；
②過B作BM⊥x軸于M，BN⊥y軸于N，過A作AH⊥x軸于H，兩線BN和AH交于Q，設OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，根據(jù)S=S_△ABQ-S_△AOH-S_△BNO-S_矩形ONQH，和cd=4，求出c=2，d=2，得到B（-2，-2），把A（1，4）和B（-2，-2）代入拋物線得出方程組 $\text{[math]}$ ，求出方程組得解即可；
③充分利用（-2，-2）這一坐標，由△DFE相似于△DBO求得EF的長（含m），再表示出F到x軸的距離，利用△EDB的面積減去△EDF的面積即可建立S與m的函數(shù)關系
④S= $\text{[math]}$ m（1+ $\text{[math]}$ -m），當m= $\text{[math]}$ 時，S最大，把m= $\text{[math]}$ 代入即可求出s，從而得到E的坐標．
點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的圖象上點的坐標特征，解二元一次方程，三角形的面積，平行線的性質，勾股定理，函數(shù)的最值，銳角三角函數(shù)的定義等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．

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